Come risolvere le disequazioni

Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori che rendono vera una relazione di confronto. Se sai già risolvere un’equazione di base, conosci già gran parte del procedimento. La regola aggiuntiva principale è questa: se moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione.

Per esempio, $2x - 5 \le 9$ chiede tutti i valori di $x$ che mantengono il membro sinistro minore o uguale a $9$. La risposta di solito è un intervallo di valori, non un solo numero esatto.

Che cosa significa risolvere una disequazione

Un’equazione chiede il valore esatto, o i valori esatti, che rendono uguali i due membri. Una disequazione chiede tutti i valori che rendono un membro maggiore, minore, almeno grande quanto o al massimo grande quanto l’altro.

Per esempio, $x < 4$ significa che va bene ogni numero minore di $4$. Questo include $3$, $0$ e $-10$, ma non $4$ stesso. Per questo le soluzioni delle disequazioni descrivono un insieme di numeri.

Regole per risolvere le disequazioni

Questi passaggi mantengono una disequazione equivalente:

• Sommare lo stesso numero a entrambi i membri.
• Sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri.
• Moltiplicare entrambi i membri per lo stesso numero positivo.
• Dividere entrambi i membri per lo stesso numero positivo.

Se moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, devi invertire il verso:

$$3 < 5$$

Moltiplica entrambi i membri per $-1$:

$$-3 > -5$$

L’affermazione resta vera, ma solo perché il verso è cambiato da $<$ a $>$.

Esempio svolto: risolvi $-2x + 3 > 11$

Inizia come faresti con un’equazione: isola $x$.

Sottrai $3$ da entrambi i membri:

$$-2x > 8$$

Ora dividi entrambi i membri per $-2$. Poiché stai dividendo per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione:

$$x < -4$$

Questo è l’intero insieme soluzione. Significa che ogni numero minore di $-4$ rende vera la disequazione iniziale.

Perché il verso della disequazione si inverte

I numeri negativi invertono l’ordine sulla retta numerica. Se $a < b$, allora $-a > -b$.

Per questo, dividere $-2x > 8$ per $-2$ trasforma la risposta in $x < -4$ invece di $x > -4$. Non stai violando le regole. Stai mantenendo vero il confronto dopo aver modificato entrambi i membri con un fattore negativo.

Verifica la risposta con un valore

Prova un valore che soddisfa la soluzione, per esempio $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

Poiché $13 > 11$, la disequazione iniziale è vera.

Ora prova un valore fuori dalla soluzione, per esempio $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

Poiché $3 > 11$ è falso, questo conferma la soluzione $x < -4$.

Errori comuni quando si risolvono le disequazioni

L’errore più comune è dimenticare di invertire il verso dopo aver moltiplicato o diviso per un numero negativo.

Un altro errore è trattare la risposta come un solo valore invece che come un intervallo. Per esempio, $x \ge 2$ significa che funzionano infiniti valori, non solo $x = 2$.

Un terzo errore è dividere per un’espressione con variabile senza conoscerne il segno. Se il segno di quell’espressione è sconosciuto, il verso della disequazione può dipendere da una condizione.

Dove si usano le disequazioni

Le disequazioni compaiono ogni volta che un problema ha limiti invece di un’uguaglianza esatta. Esempi comuni includono soglie di punteggio, vincoli di budget, intervalli di sicurezza, restrizioni sul dominio e problemi di ottimizzazione.

Compaiono anche in tutta l’algebra, soprattutto nella rappresentazione degli intervalli, nella risoluzione di disequazioni composte e nella descrizione di soluzioni ammissibili in situazioni reali.

Prova una disequazione simile

Prova a risolvere $5x - 7 \le 18$. Poi risolvi $-3x + 4 \ge 1$ e confronta l’ultimo passaggio. Se vuoi andare oltre, prova una tua versione con un coefficiente negativo e controlla se hai invertito il verso nel momento giusto.