Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ubah persamaan ke bentuk baku lalu cari nilai atau nilai-nilai $x$ yang membuat persamaan benar. Bentuk bakunya adalah

$$ax^2 + bx + c = 0$$

dengan $a \ne 0$. Sebagian besar soal siswa dapat diselesaikan dengan tiga metode: faktorisasi, melengkapkan kuadrat, atau menggunakan rumus kuadrat. Keterampilan utamanya adalah memilih metode yang paling sederhana untuk persamaan yang sedang dihadapi.

Apa Arti Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Anda sedang mencari akar, atau solusi, dari persamaan tersebut. Pada grafik, ini adalah nilai-nilai $x$ saat parabola memotong sumbu $x$.

Persamaan kuadrat dapat memiliki dua solusi real, satu solusi real kembar, atau tidak memiliki solusi real. Jika Anda bekerja pada bilangan kompleks, setiap persamaan kuadrat tetap memiliki dua solusi dengan memperhitungkan multiplisitas.

Cara Memilih Metode

Sebelum melakukan aljabar, pindahkan semua suku ke satu sisi sehingga sisi lainnya bernilai $0$. Ini membuat strukturnya lebih mudah dilihat dan membantu Anda memutuskan metode yang paling cocok.

• Jika bentuknya dapat difaktorkan dengan rapi, faktorisasi biasanya paling cepat.
• Jika persamaan mendekati pola kuadrat sempurna, melengkapkan kuadrat bisa efisien.
• Jika kedua pendekatan itu tidak praktis, rumus kuadrat dapat digunakan untuk semua persamaan kuadrat.

Ada satu jalan pintas lagi yang membantu: diskriminan,

$$b^2 - 4ac$$

yang memberi tahu jenis solusi real yang dapat Anda harapkan.

• Jika $b^2 - 4ac > 0$, ada dua solusi real yang berbeda.
• Jika $b^2 - 4ac = 0$, ada satu solusi real kembar.
• Jika $b^2 - 4ac < 0$, tidak ada solusi real.

Ini tidak langsung menyelesaikan persamaan, tetapi memberi tahu jenis jawaban yang masuk akal sebelum Anda mulai menghitung.

Tiga Metode Utama

Faktorisasi

Faktorisasi bekerja ketika bentuk kuadrat dapat ditulis ulang sebagai hasil kali seperti

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Lalu gunakan aturan hasil kali nol: jika suatu hasil kali bernilai $0$, maka setidaknya satu faktornya harus bernilai $0$. Jadi solusinya adalah $x = 2$ dan $x = 3$.

Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat menulis ulang bentuk kuadrat menjadi bentuk seperti

$$(x - h)^2 = k$$

Metode ini sangat berguna ketika faktorisasi terasa sulit dan Anda ingin melihat persamaan sebagai suatu bentuk kuadrat.

Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat selalu dapat digunakan jika persamaan sudah dalam bentuk baku:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ini adalah metode umum yang paling andal, tetapi tidak selalu paling cepat jika bentuk kuadratnya langsung bisa difaktorkan.

Contoh Soal: Selesaikan $x^2 - 5x + 6 = 0$

Persamaan ini sudah dalam bentuk baku, jadi pertama periksa apakah bisa difaktorkan. Anda memerlukan dua bilangan yang hasil kalinya $6$ dan jumlahnya $-5$. Bilangan itu adalah $-2$ dan $-3$, jadi

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

Sekarang selesaikan

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Lalu samakan setiap faktor dengan nol:

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0$$

Jadi solusinya adalah

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3$$

Periksa kedua jawaban pada persamaan semula:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

Kedua pemeriksaan benar, jadi solusinya tepat.

Kesalahan Umum

Salah satu kesalahan umum adalah memilih metode sebelum memindahkan semua suku ke satu sisi. Misalnya, menyelesaikan $x^2 = 5x - 6$ menjadi jauh lebih mudah setelah ditulis ulang sebagai $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Kesalahan lain adalah kehilangan satu solusi. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua solusi real, jadi setelah faktorisasi atau menggunakan tanda $\pm$ pada rumus kuadrat, pastikan Anda mempertahankan kedua kemungkinan jika memang ada.

Kesalahan ketiga adalah menggunakan rumus kuadrat dengan tanda yang salah untuk $a$, $b$, atau $c$. Ini biasanya terjadi jika persamaan tidak lebih dulu ditulis dalam bentuk baku.

Di Mana Ini Digunakan

Persamaan kuadrat muncul dalam aljabar, pembuatan grafik, optimasi, dan soal gerak. Jika suatu hubungan melibatkan variabel berpangkat dua, menyelesaikan persamaan kuadrat sering menjadi langkah yang memberi nilai $x$ yang bermakna.

Metodenya bergantung pada persamaannya. Bentuk kuadrat yang rapi dan bisa difaktorkan memberi keuntungan pada pengenalan pola. Bentuk yang lebih rumit sering lebih baik diselesaikan dengan rumus kuadrat.

Coba Soal Serupa

Cobalah menyelesaikan $x^2 - 7x + 12 = 0$ dan pilih metodenya sebelum Anda menghitung. Langkah lanjutan yang berguna adalah menyelesaikan persamaan yang sama dengan faktorisasi dan dengan rumus kuadrat, lalu bandingkan metode mana yang terasa lebih langsung.