Couple — formule et exemples

Le couple est l’effet de rotation d’une force autour d’un pivot ou d’un axe. En physique introductive, la valeur du couple produit par une force est

$$\tau = rF\sin\theta$$

Ici, $r$ est la distance entre le pivot et le point d’application de la force, $F$ est l’intensité de la force, et $\theta$ est l’angle entre le rayon et la force. L’idée essentielle est que seule la composante perpendiculaire de la force crée une rotation. Si la force est dirigée directement vers le pivot ou à l’opposé, alors $\theta = 0$ et le couple vaut $0$.

Ce que signifie le couple en termes simples

Le couple est la version rotative de la force de poussée. Un couple plus grand signifie une plus forte tendance à faire tourner un objet.

Le couple augmente quand :

1. la force est plus grande
2. la distance au pivot est plus grande
3. la force est appliquée de manière plus perpendiculaire au rayon

C’est pourquoi une porte s’ouvre plus facilement quand on pousse près de la poignée que près des gonds. La même force produit un effet de rotation plus important quand le bras de levier est plus long.

Formule du couple : rôle de chaque terme

On peut lire

$$\tau = rF\sin\theta$$

comme trois idées distinctes :

• $r$ : à quelle distance du pivot la force est appliquée
• $F$ : quelle est l’intensité de la force
• $\sin\theta$ : quelle part de cette force est perpendiculaire au rayon

Une autre forme utile est

$$\tau = rF_{\perp}$$

où $F_{\perp}$ est la composante de la force perpendiculaire au rayon. C’est souvent la manière la plus rapide de raisonner sur un problème.

Dans le Système international, le couple se mesure en newton-mètres, noté $\mathrm{N \cdot m}$. Cela a les mêmes dimensions que l’énergie, mais ce n’est pas la même grandeur physique. Le couple décrit un effet de rotation, pas une énergie stockée ou transférée.

Exemple résolu : couple exercé sur une porte

Supposons que vous poussiez une porte avec une force de $25\ \mathrm{N}$ en un point situé à $0.80\ \mathrm{m}$ des gonds. Les gonds constituent le pivot.

Si vous poussez perpendiculairement à la porte, alors $\theta = 90^\circ$ et $\sin 90^\circ = 1$. La valeur du couple est

$$\tau = rF\sin\theta = (0.80)(25)(1) = 20\ \mathrm{N \cdot m}$$

La porte subit donc un couple de $20\ \mathrm{N \cdot m}$.

Gardons maintenant la même force et la même distance, mais poussons avec un angle de $30^\circ$ par rapport au rayon. On obtient alors

$$\tau = (0.80)(25)\sin 30^\circ = (0.80)(25)(0.5) = 10\ \mathrm{N \cdot m}$$

La force ne change pas, mais le couple est plus petit parce qu’une plus faible part de la force est perpendiculaire. C’est l’idée principale que beaucoup d’élèves oublient : la force entière ne contribue pas toujours à la rotation.

Quand le couple est nul

Le couple est nul dans l’un ou l’autre des cas suivants :

1. la force est appliquée au pivot, donc $r = 0$
2. la force agit le long du rayon, donc $\theta = 0$ ou $180^\circ$

Dans les deux cas, il n’y a pas de bras de levier pour produire une rotation, même si la force elle-même est grande.

Couple horaire ou antihoraire

Dans beaucoup de problèmes d’introduction, on attribue un signe au couple selon le sens de rotation. Une convention courante est :

1. le couple antihoraire est positif
2. le couple horaire est négatif

Ce choix de signe est une convention, pas une loi physique distincte. Utilisez la convention donnée par votre cours ou votre exercice, mais restez cohérent.

Erreurs fréquentes avec la formule du couple

Utiliser $F$ au lieu de la composante perpendiculaire

Si la force est inclinée, on ne peut généralement pas utiliser simplement $rF$. Il faut la composante perpendiculaire, d’où l’importance du facteur $\sin\theta$.

Mesurer la distance depuis le mauvais point

La distance doit être mesurée à partir du pivot ou de l’axe. Si le pivot est le gond d’une porte, mesurez depuis le gond jusqu’au point où la force est appliquée.

Oublier qu’une force passant par le pivot donne un couple nul

Si la ligne d’action passe par le pivot, le bras de levier est nul, donc le couple est nul même si la force elle-même est grande.

Confondre couple et force

La force peut provoquer une translation, tandis que le couple provoque une rotation. Une grande force ne garantit pas un grand couple si elle est appliquée très près du pivot ou le long du rayon.

Où le couple est utilisé

Le couple apparaît dès qu’une rotation intervient. Voici quelques cas courants :

1. ouvrir des portes
2. utiliser des clés et des tournevis
3. équilibrer des bascules et des poutres
4. analyser des moteurs, des roues et des poulies
5. résoudre des problèmes de dynamique de rotation et d’équilibre statique

En équilibre statique, le couple résultant par rapport à un pivot choisi doit être nul. En dynamique de rotation, c’est le couple résultant qui modifie le mouvement de rotation.

Essayez un problème similaire

Une clé a une longueur de $0.30\ \mathrm{m}$, et vous appliquez une force de $40\ \mathrm{N}$ perpendiculairement à celle-ci. Calculez le couple, puis comparez-le au couple produit par la même force appliquée à $45^\circ$. Cette comparaison rapide permet de voir beaucoup plus clairement le rôle de l’angle.