Mouvement de rotation — Couple, moment cinétique et moment d’inertie

Le mouvement de rotation est un mouvement autour d’un axe. Pour le comprendre rapidement, posez-vous trois questions : qu’est-ce qui essaie de faire tourner l’objet ? À quel point est-il difficile de modifier cette rotation ? Quel mouvement de rotation l’objet possède-t-il déjà ?

Ces trois questions mènent aux trois idées centrales : le couple, le moment d’inertie et le moment cinétique. Le couple mesure l’effet de rotation d’une force. Le moment d’inertie mesure à quel point l’objet résiste à une accélération angulaire autour d’un axe choisi. Le moment cinétique mesure le mouvement de rotation et reste constant lorsque le couple extérieur net est nul.

Pour beaucoup de problèmes d’introduction, cette analogie rapide aide :

• le couple est la version rotationnelle de la force
• le moment d’inertie est la version rotationnelle de la masse
• le moment cinétique est la version rotationnelle de la quantité de mouvement

Cette analogie n’est qu’un point de départ. En mouvement de rotation, le choix de l’axe compte à chaque étape.

Le modèle à axe fixe

Si un solide rigide tourne autour d’un axe fixe, l’équation de départ standard est

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Ici, $\tau_{net}$ est le couple extérieur net par rapport à l’axe, $I$ est le moment d’inertie par rapport à cet axe, et $\alpha$ est l’accélération angulaire.

Dans ce même cadre d’axe fixe, le moment cinétique par rapport à cet axe est

$$L = I\omega$$

où $\omega$ est la vitesse angulaire, la direction étant gérée par votre convention de signe ou la règle de la main droite. Cette forme n’est pas la règle la plus générale pour tout solide rigide, donc utilisez-la lorsque le problème reste clairement limité à un seul axe fixe.

Couple : une force avec effet de levier

Le couple mesure l’effet de rotation d’une force par rapport à un axe. Une force peut être grande et produire malgré tout peu de couple si elle agit près de l’axe ou si sa direction passe presque par celui-ci.

Sa valeur est

$$\tau = rF\sin\theta$$

où $r$ est la distance entre l’axe et le point d’application de la force, $F$ est l’intensité de la force, et $\theta$ est l’angle entre $\vec{r}$ et $\vec{F}$.

C’est pourquoi une porte s’ouvre facilement quand on pousse loin des gonds et presque perpendiculairement à la porte. La même force appliquée près des gonds produit beaucoup moins de couple.

Moment d’inertie : la répartition de la masse

Le moment d’inertie indique comment la masse est répartie par rapport à l’axe. La masse située plus loin de l’axe contribue davantage, ce qui explique pourquoi cette grandeur dépend du carré de la distance.

Pour des particules discrètes,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

et pour un corps continu, l’idée devient une intégrale. Le point pratique essentiel est plus simple : un même objet peut avoir des moments d’inertie différents selon l’axe choisi.

C’est pourquoi une longue tige est plus facile à faire tourner autour de son centre qu’autour d’une extrémité, même si la tige elle-même n’a pas changé.

Moment cinétique : ce qui reste constant

Le moment cinétique décrit le mouvement de rotation d’une manière particulièrement utile lorsque le couple est faible ou nul.

La règle la plus importante est

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Donc, si le couple extérieur net par rapport à un axe est nul, le moment cinétique par rapport à cet axe reste constant.

Cette idée de conservation explique de nombreux effets familiers. Un patineur qui rapproche ses bras réduit $I$, donc $\omega$ augmente si le couple extérieur est négligeable et que le moment cinétique reste le même.

Exemple résolu : un disque soumis à un couple constant

Prenons un disque plein uniforme de masse $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ et de rayon $R = 0.50\ \mathrm{m}$ tournant autour de son axe central. Un couple net constant de $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$ agit sur lui. Supposons qu’il parte du repos.

Pour un disque plein uniforme autour de son centre,

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

Donc

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Utilisons maintenant

$$\tau_{net} = I\alpha$$

pour trouver l’accélération angulaire :

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

Après $2.0\ \mathrm{s}$, la vitesse angulaire vaut

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

Le moment cinétique est alors

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Cet exemple montre toute la chaîne :

1. le couple provoque une accélération angulaire
2. la valeur de cette accélération dépend du moment d’inertie
3. une fois que l’objet tourne, il possède un moment cinétique

Erreurs fréquentes en mouvement de rotation

Traiter le couple comme un simple autre mot pour force

La force et le couple sont liés, mais ce ne sont pas la même grandeur. Le couple dépend de l’endroit et de la manière dont la force est appliquée par rapport à l’axe.

Oublier que le moment d’inertie dépend de l’axe

Il n’existe pas un unique $I$ universel pour un objet. Vous devez préciser l’axe avant de choisir ou de calculer le moment d’inertie.

Utiliser $L = I\omega$ sans vérifier le modèle

Cette forme fonctionne bien dans les problèmes courants à axe fixe. Dans un mouvement plus général d’un solide rigide, le moment cinétique n’est pas toujours parallèle à la vitesse angulaire.

Ignorer la direction du couple et du moment cinétique

Ces grandeurs ont une direction. Dans beaucoup de problèmes de cours, la convention de signe ou la règle de la main droite gère cette direction, donc abandonner le signe trop tôt peut inverser la réponse.

Où apparaît le mouvement de rotation

Le mouvement de rotation apparaît dans les roues, les turbines, les poulies, les moteurs, les planètes, les gyroscopes et les molécules. En ingénierie comme en physique, c’est le langage naturel dès qu’un effet de rotation, de pivotement ou lié à une orbite intervient.

Il se relie aussi directement à la mécanique linéaire. Beaucoup de problèmes de rotation deviennent plus simples une fois qu’on met en parallèle les versions rotationnelle et linéaire d’une même idée :

• force $\leftrightarrow$ couple
• masse $\leftrightarrow$ moment d’inertie
• quantité de mouvement $\leftrightarrow$ moment cinétique

Essayez un problème similaire

Gardez le même disque, mais doublez le rayon tout en conservant la même masse. Comme $I$ varie avec $R^2$, le moment d’inertie devient plus grand, donc le même couple produit une accélération angulaire plus faible.

Essayez cette version vous-même : calculez le nouveau $I$, puis trouvez le nouveau $\alpha$ et le nouveau $L$ après les mêmes $2.0\ \mathrm{s}$.