Moment d’inertie — formules et exemples

Le moment d’inertie mesure à quel point un objet résiste aux changements de rotation autour d’un axe choisi. En dynamique de rotation, il joue un rôle semblable à celui de la masse dans le mouvement en ligne droite.

Si vous cherchez la formule, l’idée essentielle est simple : chaque partie de la masse contribue selon sa distance à l’axe, et cette distance est au carré. C’est pourquoi la masse située loin de l’axe compte autant.

L’axe n’est pas facultatif. Un même objet peut avoir des moments d’inertie différents selon l’axe considéré.

De quoi dépend le moment d’inertie

Pour un ensemble de masses ponctuelles,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Ici, $m_i$ est une portion de masse et $r_i$ sa distance à l’axe. Le terme en $r^2$ est la raison principale du comportement de cette grandeur. Si vous placez la même masse deux fois plus loin de l’axe, sa contribution devient quatre fois plus grande.

Pour un objet continu, la même idée devient

$$I = \int r^2\,dm$$

Vous n’avez pas besoin de cette intégrale dans tous les exercices, mais elle explique d’où viennent les formules usuelles selon la forme. L’unité SI du moment d’inertie est $\mathrm{kg \cdot m^2}$.

Comment le moment d’inertie influence l’accélération angulaire

Si un corps rigide tourne autour d’un axe fixe, la dynamique de rotation utilise souvent

$$\tau_{net} = I\alpha$$

où $\tau_{net}$ est le couple net et $\alpha$ l’accélération angulaire. Pour un même couple appliqué, un $I$ plus grand signifie une accélération angulaire plus petite.

C’est pourquoi une patineuse artistique tourne plus vite lorsqu’elle ramène les bras vers l’intérieur. La masse totale reste presque la même, mais une plus grande partie se rapproche de l’axe, donc le moment d’inertie diminue.

Formules courantes du moment d’inertie

Ces formules ne sont valables que pour la forme et l’axe indiqués.

• Masse ponctuelle à la distance $r$ : $I = mr^2$
• Cerceau mince ou anneau autour de son centre : $I = MR^2$
• Disque plein ou cylindre plein autour de son centre : $I = \frac{1}{2}MR^2$
• Sphère pleine autour de son centre : $I = \frac{2}{5}MR^2$
• Tige mince de longueur $L$ autour de son centre, axe perpendiculaire à la tige : $I = \frac{1}{12}ML^2$
• Tige mince de longueur $L$ autour d’une extrémité, axe perpendiculaire à la tige : $I = \frac{1}{3}ML^2$

Si l’axe change, la formule peut aussi changer. C’est l’une des sources d’erreur les plus fréquentes.

Exemple résolu : déplacer la même masse vers l’intérieur

Supposons que deux petites masses de $2\ \mathrm{kg}$ chacune soient fixées à une tige légère, avec l’axe de rotation au centre.

Cas 1 : chaque masse est à $0.50\ \mathrm{m}$ de l’axe.

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Cas 2 : chaque masse est déplacée vers l’intérieur et se trouve maintenant à seulement $0.25\ \mathrm{m}$ de l’axe.

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

La masse totale est restée la même, mais le moment d’inertie est devenu quatre fois plus petit parce que la distance a été divisée par deux.

Supposons maintenant que le même couple net de $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ agisse dans les deux cas. Alors

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

donc les accélérations angulaires sont

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

La masse totale n’a pas changé, mais l’accélération angulaire est devenue quatre fois plus grande. Voilà l’idée essentielle : rapprocher la masse de l’axe rend la rotation plus facile à modifier.

Erreurs fréquentes avec le moment d’inertie

Oublier de préciser l’axe

Le moment d’inertie est toujours défini par rapport à un axe. Un disque autour de son centre et ce même disque autour d’une tangente n’ont pas la même valeur.

Utiliser la bonne formule pour la mauvaise forme

$I = \frac{1}{2}MR^2$ vaut pour un disque plein ou un cylindre plein autour de son axe central, pas pour un cerceau. Un cerceau ayant le même $M$ et le même $R$ a $I = MR^2$.

Négliger la distance au carré

Les élèves remarquent souvent que la distance compte, mais sous-estiment son importance. Comme la formule contient $r^2$, de petits changements de rayon peuvent avoir un grand effet.

Penser que ce n’est qu’une question de masse

Une masse plus grande augmente souvent le moment d’inertie, mais la répartition compte aussi. Un objet plus léger peut tout de même avoir un $I$ plus grand si une plus grande partie de sa masse est loin de l’axe.

Où le moment d’inertie est utilisé

Le moment d’inertie apparaît dès que la rotation compte :

1. roues, volants d’inertie et moteurs
2. tiges, disques et poulies en rotation
3. patinage artistique et plongeon
4. équilibre entre couple et accélération angulaire dans les problèmes de mécanique
5. conceptions d’ingénierie où la réponse en rotation est importante

En cours de physique, il apparaît généralement avec le couple, l’accélération angulaire, le moment cinétique et l’énergie cinétique de rotation.

Essayez un exercice similaire

Reprenez l’exemple résolu et placez chaque masse de $2\ \mathrm{kg}$ à $0.40\ \mathrm{m}$ de l’axe à la place. Calculez le nouveau $I$, puis prévoyez comment l’accélération angulaire change sous le même couple. Cette seule variation suffit pour bien retenir la dépendance en $r^2$.