Drehmoment — Formel und Beispiele

Das Drehmoment ist die Drehwirkung einer Kraft um einen Drehpunkt oder eine Achse. In der einführenden Physik ist der Betrag des Drehmoments einer einzelnen Kraft

$$\tau = rF\sin\theta$$

Hier ist $r$ der Abstand vom Drehpunkt zu dem Punkt, an dem die Kraft angreift, $F$ der Betrag der Kraft und $\theta$ der Winkel zwischen Radiuslinie und Kraft. Die zentrale Idee ist, dass nur der senkrechte Anteil der Kraft eine Drehung erzeugt. Zeigt die Kraft direkt zum Drehpunkt hin oder von ihm weg, dann gilt $\theta = 0$ und das Drehmoment ist $0$.

Was Drehmoment einfach erklärt bedeutet

Drehmoment ist die rotatorische Version von Schubkraft. Ein größeres Drehmoment bedeutet eine stärkere Tendenz, einen Körper zu drehen.

Das Drehmoment wird größer bei:

1. einer größeren Kraft
2. einem größeren Abstand vom Drehpunkt
3. einer Kraft, die möglichst senkrecht zum Radius angreift

Deshalb lässt sich eine Tür leichter öffnen, wenn du nahe am Griff drückst statt nahe am Scharnier. Dieselbe Kraft erzeugt mehr Drehwirkung, wenn der Hebelarm länger ist.

Drehmomentformel: Was jeder Teil bedeutet

Du kannst

$$\tau = rF\sin\theta$$

als drei getrennte Ideen lesen:

• $r$: wie weit vom Drehpunkt die Kraft angreift
• $F$: wie groß die Kraft ist
• $\sin\theta$: wie viel von dieser Kraft senkrecht zum Radius wirkt

Eine weitere nützliche Form ist

$$\tau = rF_{\perp}$$

wobei $F_{\perp}$ die zur Radiuslinie senkrechte Komponente der Kraft ist. Das ist oft der schnellste Weg, über eine Aufgabe nachzudenken.

Im SI-System wird das Drehmoment in Newtonmetern gemessen, geschrieben als $\mathrm{N \cdot m}$. Das hat dieselben Dimensionen wie Energie, ist aber nicht dieselbe physikalische Größe. Drehmoment beschreibt eine Drehwirkung, nicht gespeicherte oder übertragene Energie.

Durchgerechnetes Beispiel: Drehmoment an einer Tür

Angenommen, du drückst mit einer Kraft von $25\ \mathrm{N}$ auf eine Tür an einem Punkt, der $0.80\ \mathrm{m}$ vom Scharnier entfernt ist. Das Scharnier ist der Drehpunkt.

Wenn du senkrecht zur Tür drückst, dann ist $\theta = 90^\circ$ und $\sin 90^\circ = 1$. Der Betrag des Drehmoments ist

$$\tau = rF\sin\theta = (0.80)(25)(1) = 20\ \mathrm{N \cdot m}$$

Die Tür erfährt also ein Drehmoment von $20\ \mathrm{N \cdot m}$.

Behalte nun dieselbe Kraft und denselben Abstand bei, aber drücke unter einem Winkel von $30^\circ$ zum Radius. Dann gilt

$$\tau = (0.80)(25)\sin 30^\circ = (0.80)(25)(0.5) = 10\ \mathrm{N \cdot m}$$

Die Kraft bleibt unverändert, aber das Drehmoment ist kleiner, weil ein geringerer Anteil der Kraft senkrecht wirkt. Das ist die Hauptidee, die viele Schüler und Studierende übersehen: Nicht immer trägt die gesamte Kraft zur Drehung bei.

Wann das Drehmoment null ist

Das Drehmoment ist in einem der folgenden Fälle null:

1. die Kraft greift am Drehpunkt an, also ist $r = 0$
2. die Kraft wirkt entlang des Radius, also ist $\theta = 0$ oder $180^\circ$

In beiden Fällen gibt es keinen Hebelarm für eine Drehung, selbst wenn die Kraft selbst groß ist.

Drehmoment im Uhrzeigersinn vs. gegen den Uhrzeigersinn

In vielen Einführungsaufgaben bekommt das Drehmoment ein Vorzeichen je nach Drehrichtung. Eine häufige Konvention ist:

1. Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn ist positiv
2. Drehmoment im Uhrzeigersinn ist negativ

Diese Vorzeichenwahl ist eine Konvention, kein eigenes physikalisches Gesetz. Verwende die Konvention, die in deinem Kurs oder in der Aufgabe vorgegeben ist, aber bleibe dabei konsequent.

Häufige Fehler bei der Drehmomentformel

$F$ statt der senkrechten Komponente verwenden

Wenn die Kraft schräg angreift, kannst du meist nicht einfach nur $rF$ verwenden. Du brauchst den senkrechten Anteil, deshalb ist der Faktor $\sin\theta$ wichtig.

Den Abstand vom falschen Punkt messen

Der Abstand muss vom Drehpunkt oder von der Achse gemessen werden. Wenn der Drehpunkt das Scharnier einer Tür ist, miss vom Scharnier bis zu dem Punkt, an dem die Kraft angreift.

Vergessen, dass eine Kraft durch den Drehpunkt kein Drehmoment erzeugt

Wenn die Wirkungslinie durch den Drehpunkt verläuft, ist der Hebelarm null, also ist auch das Drehmoment null, selbst wenn die Kraft selbst groß ist.

Drehmoment und Kraft verwechseln

Kraft kann eine Translation verursachen, während Drehmoment eine Rotation verursacht. Eine große Kraft garantiert kein großes Drehmoment, wenn sie sehr nahe am Drehpunkt oder entlang des Radius angreift.

Wo Drehmoment verwendet wird

Drehmoment tritt immer dann auf, wenn Rotation wichtig ist. Häufige Fälle sind:

1. Türen öffnen
2. Schraubenschlüssel und Schraubendreher verwenden
3. Wippen und Balken im Gleichgewicht halten
4. Motoren, Räder und Rollen analysieren
5. Aufgaben zur Rotationsdynamik und zum statischen Gleichgewicht lösen

Im statischen Gleichgewicht muss das Gesamtdrehmoment bezüglich eines gewählten Drehpunkts null sein. In der Rotationsdynamik ist das Gesamtdrehmoment das, was die Drehbewegung verändert.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Ein Schraubenschlüssel ist $0.30\ \mathrm{m}$ lang, und du übst senkrecht dazu eine Kraft von $40\ \mathrm{N}$ aus. Berechne das Drehmoment und vergleiche es dann mit dem Drehmoment derselben Kraft bei einem Winkel von $45^\circ$. Dieser schnelle Vergleich macht die Rolle des Winkels viel leichter erkennbar.