Théorème de Thévenin

Le théorème de Thévenin dit ceci : si un circuit est linéaire et que vous ne vous intéressez qu’à deux bornes de sortie, vous pouvez remplacer tout le réseau par une source de tension idéale $V_{th}$ en série avec une résistance $R_{th}$. Ce remplacement donne le même comportement tension-courant à ces bornes, donc toute charge connectée à ces bornes se comportera de la même façon.

Pour les réseaux simples de résistances en courant continu, la méthode est rapide : retirez la charge, trouvez la tension à vide pour obtenir $V_{th}$, trouvez la résistance vue depuis les mêmes bornes pour obtenir $R_{th}$, puis reconnectez la charge au circuit simplifié.

Ce que signifie le théorème de Thévenin

Le théorème ne dit pas que l’intérieur du circuit d’origine devient physiquement identique à une pile et une résistance. Il dit que le circuit paraît identique vu depuis les deux bornes choisies.

Cette condition est importante. Le théorème de Thévenin s’applique aux réseaux linéaires. Dans les exercices d’introduction, cela signifie généralement des résistances avec des sources indépendantes ou dépendantes. En analyse en courant alternatif, la même idée utilise l’impédance au lieu de la résistance.

Pourquoi les étudiants utilisent les équivalents de Thévenin

Sans le théorème de Thévenin, chaque fois que la charge change, il peut être nécessaire de résoudre tout le circuit à nouveau. Avec l’équivalent de Thévenin, le réseau source est réduit une seule fois, puis chaque nouvelle charge devient un simple problème de circuit en série.

C’est particulièrement utile lorsque la question demande le courant dans la charge, la tension aux bornes de la charge ou la puissance pour plusieurs valeurs différentes de charge.

Comment trouver un équivalent de Thévenin

1. Retirer la charge

Choisissez les deux bornes où la charge est connectée et déconnectez la charge. Tous les calculs suivants se font par rapport à ces mêmes bornes.

2. Trouver la tension à vide

La tension entre les bornes ouvertes est la tension de Thévenin :

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. Trouver la résistance équivalente

Pour un circuit ne contenant que des sources indépendantes, annulez les sources et regardez le circuit depuis les bornes :

• Remplacez chaque source de tension indépendante par un court-circuit.
• Remplacez chaque source de courant indépendante par un circuit ouvert.

La résistance vue depuis les bornes est $R_{th}$.

Si des sources dépendantes sont présentes, ce raccourci ne suffit pas à lui seul. Dans ce cas, laissez les sources dépendantes actives et utilisez une source de test ou une autre méthode valable.

4. Reconnecter la charge

Remplacez maintenant le réseau d’origine par $V_{th}$ en série avec $R_{th}$.

Si une charge $R_L$ est connectée, le courant dans la charge vaut

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

et la tension de charge vaut

$$V_L = I_L R_L$$

Exemple résolu du théorème de Thévenin

Supposons qu’une source idéale de $12$ V alimente un diviseur avec $R_1 = 4 \, \Omega$ en série avec $R_2 = 8 \, \Omega$. Les bornes de sortie sont aux bornes de $R_2$, et une charge $R_L$ sera connectée à ces mêmes bornes. Trouvez l’équivalent de Thévenin vu par $R_L$.

Étape 1 : Retirer la charge

Déconnectez $R_L$ s’il est présent. Le réseau source restant est toujours le diviseur formé par $R_1$ et $R_2$.

Étape 2 : Trouver $V_{th}$

La tension à vide aux bornes de sortie est la tension du diviseur aux bornes de $R_2$ :

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

Donc $V_{th} = 8$ V.

Étape 3 : Trouver $R_{th}$

Annulez la source de tension indépendante, donc la source de $12$ V devient un court-circuit. En regardant depuis les bornes de sortie, $R_1$ et $R_2$ sont toutes deux connectées entre la borne et la masse, donc elles sont en parallèle :

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

Donc $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$.

Du point de vue de la charge, le réseau d’origine n’est plus qu’une source de $8$ V en série avec environ $2.67 \, \Omega$.

Étape 4 : Essayer une charge

Si vous connectez maintenant $R_L = 5 \, \Omega$, le courant dans la charge vaut

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

Donc $I_L \approx 1.04$ A. La tension de charge vaut alors

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

Donc $V_L \approx 5.2$ V. C’est le principal avantage du théorème de Thévenin : une fois le réseau source réduit, tester une nouvelle charge devient rapide.

Erreurs fréquentes avec le théorème de Thévenin

• Trouver $V_{th}$ alors que la charge est encore connectée. La définition standard utilise la tension à vide aux bornes.
• Annuler les sources dépendantes comme s’il s’agissait de sources indépendantes. Cela donne un mauvais $R_{th}$ dans beaucoup de circuits.
• Oublier que Thévenin est défini pour une paire précise de bornes. Si vous changez les bornes, l’équivalent peut aussi changer.
• Confondre transformation de source et simplification à l’intérieur du circuit d’origine. L’équivalence concerne le comportement aux bornes, pas la valeur dans chaque branche interne.

Quand le théorème de Thévenin est utilisé

Les équivalents de Thévenin apparaissent en conception de circuits, dans les problèmes de mesure, les interfaces de capteurs et les questions d’adaptation de charge. C’est aussi une manière pratique de décrire à quel point un réseau source peut alimenter efficacement une charge.

Une fois l’idée comprise, les équivalents de Norton sont la comparaison naturelle suivante, car ils décrivent le même comportement aux bornes sous la forme d’une source de courant.

Essayez un circuit similaire

Gardez le même réseau source, mais changez la charge en prenant $R_L = 10 \, \Omega$. Utilisez les mêmes $V_{th}$ et $R_{th}$ pour trouver le nouveau courant et la nouvelle tension de charge. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version avec un diviseur différent et vérifiez comment $V_{th}$ et $R_{th}$ changent tous les deux.