Teorema di Thevenin

Il teorema di Thevenin dice questo: se un circuito è lineare e ti interessano solo due morsetti di uscita, puoi sostituire l'intera rete con un generatore ideale di tensione $V_{th}$ in serie con una resistenza $R_{th}$. La sostituzione fornisce lo stesso comportamento tensione-corrente a quei morsetti, quindi qualsiasi carico collegato lì si comporterà allo stesso modo.

Per le reti resistive in corrente continua di base, il metodo è rapido: rimuovi il carico, trova la tensione a vuoto per ottenere $V_{th}$, trova la resistenza vista dagli stessi morsetti per ottenere $R_{th}$, poi ricollega il carico al circuito più semplice.

Che cosa significa il teorema di Thevenin

Il teorema non dice che l'interno del circuito originale diventa fisicamente identico a una batteria e a un resistore. Dice che il circuito appare identico se osservato dai due morsetti scelti.

Questa condizione è importante. Il teorema di Thevenin si applica alle reti lineari. Nei problemi introduttivi, questo di solito significa resistori con sorgenti indipendenti o dipendenti. Nell'analisi in corrente alternata, la stessa idea usa l'impedenza invece della resistenza.

Perché gli studenti usano gli equivalenti di Thevenin

Senza il teorema di Thevenin, ogni volta che il carico cambia potresti dover risolvere di nuovo l'intero circuito. Con l'equivalente di Thevenin, la rete di sorgente viene ridotta una sola volta, e poi ogni nuovo carico diventa un semplice problema di circuito in serie.

Questo è particolarmente utile quando il problema chiede la corrente nel carico, la tensione sul carico o la potenza per diversi valori del carico.

Come trovare un equivalente di Thevenin

1. Rimuovi il carico

Scegli i due morsetti a cui è collegato il carico e scollega il carico. Tutto ciò che calcoli dopo è riferito a quegli stessi morsetti.

2. Trova la tensione a vuoto

La tensione ai morsetti aperti è la tensione di Thevenin:

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. Trova la resistenza equivalente

Per un circuito con sole sorgenti indipendenti, spegni le sorgenti e osserva il circuito dai morsetti:

• Sostituisci ogni sorgente indipendente di tensione con un cortocircuito.
• Sostituisci ogni sorgente indipendente di corrente con un circuito aperto.

La resistenza vista dai morsetti è $R_{th}$.

Se sono presenti sorgenti dipendenti, questa scorciatoia da sola non basta. In quel caso, lascia attive le sorgenti dipendenti e usa una sorgente di prova o un altro metodo valido.

4. Ricollega il carico

Ora sostituisci la rete originale con $V_{th}$ in serie con $R_{th}$.

Se è collegato un carico $R_L$, la corrente nel carico è

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

e la tensione sul carico è

$$V_L = I_L R_L$$

Esempio svolto del teorema di Thevenin

Supponiamo che una sorgente ideale da $12$ V alimenti un partitore con $R_1 = 4 \, \Omega$ in serie con $R_2 = 8 \, \Omega$. I morsetti di uscita sono ai capi di $R_2$, e un carico $R_L$ sarà collegato agli stessi morsetti. Trova l'equivalente di Thevenin visto da $R_L$.

Passo 1: Rimuovi il carico

Scollega $R_L$ se è presente. La rete di sorgente che rimane è ancora il partitore formato da $R_1$ e $R_2$.

Passo 2: Trova $V_{th}$

La tensione a vuoto ai morsetti di uscita è la tensione del partitore ai capi di $R_2$:

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

Quindi $V_{th} = 8$ V.

Passo 3: Trova $R_{th}$

Spegni la sorgente indipendente di tensione, quindi la sorgente da $12$ V diventa un cortocircuito. Osservando il circuito dai morsetti di uscita, $R_1$ e $R_2$ sono entrambe collegate dal morsetto a massa, quindi sono in parallelo:

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

Quindi $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$.

Dal punto di vista del carico, la rete originale ora è semplicemente una sorgente da $8$ V in serie con circa $2.67 \, \Omega$.

Passo 4: Prova un carico

Se ora colleghi $R_L = 5 \, \Omega$, la corrente nel carico è

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

Quindi $I_L \approx 1.04$ A. Allora la tensione sul carico è

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

Quindi $V_L \approx 5.2$ V. Questo è il principale vantaggio del teorema di Thevenin: una volta ridotta la rete di sorgente, provare un nuovo carico è veloce.

Errori comuni nel teorema di Thevenin

• Trovare $V_{th}$ con il carico ancora collegato. La definizione standard usa la tensione ai morsetti a circuito aperto.
• Spegnere le sorgenti dipendenti come se fossero sorgenti indipendenti. In molti circuiti questo porta a un valore errato di $R_{th}$.
• Dimenticare che Thevenin è definito per una specifica coppia di morsetti. Se cambi i morsetti, può cambiare anche l'equivalente.
• Confondere la trasformazione delle sorgenti con la semplificazione all'interno del circuito originale. L'equivalenza riguarda il comportamento ai morsetti, non il valore di ogni ramo interno.

Quando si usa il teorema di Thevenin

Gli equivalenti di Thevenin compaiono nella progettazione dei circuiti, nei problemi di misura, nelle interfacce per sensori e nelle questioni di adattamento del carico. Sono anche un modo pratico per descrivere quanto efficacemente una rete di sorgente può pilotare un carico.

Una volta compresa l'idea, gli equivalenti di Norton sono il confronto successivo più naturale, perché descrivono lo stesso comportamento ai morsetti nella forma di generatore di corrente.

Prova un circuito simile

Mantieni la stessa rete di sorgente, ma cambia il carico in $R_L = 10 \, \Omega$. Usa gli stessi $V_{th}$ e $R_{th}$ per trovare la nuova corrente nel carico e la nuova tensione. Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con un partitore diverso e verifica come cambiano sia $V_{th}$ sia $R_{th}$.