Twierdzenie Thévenina

Twierdzenie Thévenina mówi, że jeśli obwód jest liniowy i interesują Cię tylko dwa zaciski wyjściowe, to całą sieć można zastąpić jednym idealnym źródłem napięcia $V_{th}$ połączonym szeregowo z jedną rezystancją $R_{th}$. Taki model zastępczy daje takie samo zachowanie napięciowo-prądowe na tych zaciskach, więc każde podłączone tam obciążenie będzie zachowywać się tak samo.

Dla podstawowych rezystancyjnych obwodów prądu stałego metoda jest szybka: odłącz obciążenie, wyznacz napięcie obwodu otwartego jako $V_{th}$, wyznacz rezystancję widzianą z tych samych zacisków jako $R_{th}$, a potem ponownie podłącz obciążenie do prostszego obwodu.

Co oznacza twierdzenie Thévenina

Twierdzenie nie mówi, że wnętrze oryginalnego obwodu staje się fizycznie identyczne z baterią i rezystorem. Mówi, że obwód wygląda identycznie z punktu widzenia wybranych dwóch zacisków.

Ten warunek ma znaczenie. Twierdzenie Thévenina dotyczy sieci liniowych. W zadaniach wprowadzających zwykle oznacza to rezystory ze źródłami niezależnymi lub zależnymi. W analizie AC tę samą ideę stosuje się z impedancją zamiast rezystancji.

Dlaczego uczniowie i studenci używają obwodów zastępczych Thévenina

Bez twierdzenia Thévenina przy każdej zmianie obciążenia może być konieczne ponowne rozwiązanie całego obwodu. Z obwodem zastępczym Thévenina sieć źródłowa jest upraszczana tylko raz, a każde nowe obciążenie staje się prostym zadaniem z obwodu szeregowego.

Jest to szczególnie przydatne, gdy pytanie dotyczy prądu obciążenia, napięcia obciążenia albo mocy dla kilku różnych wartości obciążenia.

Jak wyznaczyć obwód zastępczy Thévenina

1. Odłącz obciążenie

Wybierz dwa zaciski, do których podłączone jest obciążenie, i odłącz obciążenie. Wszystkie dalsze obliczenia wykonujesz względem tych samych zacisków.

2. Wyznacz napięcie obwodu otwartego

Napięcie między rozwartymi zaciskami to napięcie Thévenina:

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. Wyznacz rezystancję zastępczą

Dla obwodu zawierającego tylko źródła niezależne wyłącz źródła i spójrz w głąb obwodu od strony zacisków:

• Zastąp każde niezależne źródło napięcia zwarciem.
• Zastąp każde niezależne źródło prądu rozwarciem.

Rezystancja widziana z tych zacisków to $R_{th}$.

Jeśli występują źródła zależne, ten skrót sam w sobie nie wystarcza. W takim przypadku pozostaw źródła zależne aktywne i użyj źródła testowego albo innej poprawnej metody.

4. Podłącz obciążenie ponownie

Teraz zastąp oryginalną sieć przez $V_{th}$ połączone szeregowo z $R_{th}$.

Jeśli podłączone jest obciążenie $R_L$, to prąd obciążenia wynosi

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

a napięcie obciążenia wynosi

$$V_L = I_L R_L$$

Rozwiązany przykład twierdzenia Thévenina

Załóżmy, że idealne źródło $12$ V zasila dzielnik z $R_1 = 4 \, \Omega$ połączonym szeregowo z $R_2 = 8 \, \Omega$. Zaciski wyjściowe są podłączone do $R_2$, a obciążenie $R_L$ będzie podłączone do tych samych zacisków. Wyznacz obwód zastępczy Thévenina widziany przez $R_L$.

Krok 1: Odłącz obciążenie

Odłącz $R_L$, jeśli jest podłączone. Sieć źródłowa, która pozostaje, to nadal dzielnik utworzony przez $R_1$ i $R_2$.

Krok 2: Wyznacz $V_{th}$

Napięcie obwodu otwartego na zaciskach wyjściowych to napięcie dzielnika na $R_2$:

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

Zatem $V_{th} = 8$ V.

Krok 3: Wyznacz $R_{th}$

Wyłącz niezależne źródło napięcia, więc źródło $12$ V staje się zwarciem. Patrząc od strony zacisków wyjściowych, zarówno $R_1$, jak i $R_2$ są połączone od zacisku do masy, więc są połączone równolegle:

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

Zatem $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$.

Z punktu widzenia obciążenia oryginalna sieć jest teraz po prostu źródłem $8$ V połączonym szeregowo z około $2.67 \, \Omega$.

Krok 4: Sprawdź jedno obciążenie

Jeśli teraz podłączysz $R_L = 5 \, \Omega$, to prąd obciążenia wynosi

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

Zatem $I_L \approx 1.04$ A. Wtedy napięcie obciążenia wynosi

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

Zatem $V_L \approx 5.2$ V. To jest główna zaleta twierdzenia Thévenina: gdy raz uprościsz sieć źródłową, sprawdzenie nowego obciążenia jest szybkie.

Typowe błędy w twierdzeniu Thévenina

• Wyznaczanie $V_{th}$ przy nadal podłączonym obciążeniu. Standardowa definicja używa napięcia zaciskowego obwodu otwartego.
• Wyłączanie źródeł zależnych tak, jakby były źródłami niezależnymi. W wielu obwodach daje to błędne $R_{th}$.
• Zapominanie, że twierdzenie Thévenina jest zdefiniowane dla konkretnej pary zacisków. Zmienisz zaciski, a obwód zastępczy też może się zmienić.
• Mylenie transformacji źródeł z upraszczaniem wewnątrz oryginalnego obwodu. Równoważność dotyczy zachowania na zaciskach, a nie każdej wartości w gałęziach wewnętrznych.

Kiedy stosuje się twierdzenie Thévenina

Obwody zastępcze Thévenina pojawiają się w projektowaniu obwodów, zadaniach pomiarowych, interfejsach czujników i problemach dopasowania obciążenia. To także praktyczny sposób opisu, jak silnie sieć źródłowa może zasilać obciążenie.

Gdy już zrozumiesz tę ideę, naturalnym kolejnym porównaniem są obwody Nortona, ponieważ opisują to samo zachowanie na zaciskach w postaci źródła prądowego.

Spróbuj podobnego obwodu

Zachowaj tę samą sieć źródłową, ale zmień obciążenie na $R_L = 10 \, \Omega$. Użyj tych samych $V_{th}$ i $R_{th}$, aby wyznaczyć nowy prąd i napięcie obciążenia. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, spróbuj własnej wersji z innym dzielnikiem i sprawdź, jak zmieniają się zarówno $V_{th}$, jak i $R_{th}$.