テブナンの定理

テブナンの定理は次のような内容です。回路が線形で、注目するのが2つの出力端子だけなら、回路全体を1つの理想電圧源 $V_{th}$ と1つの抵抗 $R_{th}$ の直列回路に置き換えられます。この置き換え後も、その端子での電圧と電流の関係は同じなので、そこに接続される負荷の振る舞いも変わりません。

基本的な直流の抵抗回路では、この方法はとても速く使えます。負荷を外し、開放電圧から $V_{th}$ を求め、同じ端子から見た抵抗として $R_{th}$ を求め、最後に負荷を簡単な回路へつなぎ直します。

テブナンの定理の意味

この定理は、元の回路の内部が物理的に電池と抵抗そのものになると言っているわけではありません。選んだ2つの端子から見たときに、回路が同じに見えるという意味です。

この条件は重要です。テブナンの定理は線形回路網に適用されます。初学者向けの問題では、通常、独立電源または従属電源を含む抵抗回路を指します。交流解析では、同じ考え方で抵抗の代わりにインピーダンスを使います。

学生がテブナン等価回路を使う理由

テブナンの定理を使わないと、負荷が変わるたびに回路全体を毎回解き直す必要があるかもしれません。テブナン等価回路を使えば、電源側の回路網を一度だけ簡単化し、その後は新しい負荷ごとに単純な直列回路として扱えます。

これは、複数の異なる負荷値について負荷電流、負荷電圧、または電力を求める問題で特に便利です。

テブナン等価回路の求め方

1. 負荷を外す

負荷が接続されている2つの端子を選び、負荷を切り離します。以後の計算はすべて、その同じ2つの端子に対して行います。

2. 開放電圧を求める

開放された端子間の電圧がテブナン電圧です。

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. 等価抵抗を求める

独立電源だけを含む回路では、電源を止めてから端子側を見込みます。

• 各独立電圧源を短絡に置き換えます。
• 各独立電流源を開放に置き換えます。

そのとき端子から見える抵抗が $R_{th}$ です。

従属電源がある場合、この近道だけでは不十分です。その場合は、従属電源を有効のままにして、試験電源などの正しい方法を使います。

4. 負荷をつなぎ直す

次に、元の回路網を $V_{th}$ と $R_{th}$ の直列回路に置き換えます。

負荷 $R_L$ を接続すると、負荷電流は

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

となり、負荷電圧は

$$V_L = I_L R_L$$

です。

テブナンの定理の計算例

$12$ V の理想電源が、$R_1 = 4 \, \Omega$ と $R_2 = 8 \, \Omega$ の直列分圧回路につながっているとします。出力端子は $R_2$ の両端にあり、負荷 $R_L$ はその同じ端子間に接続されます。$R_L$ から見たテブナン等価回路を求めます。

Step 1: 負荷を外す

$R_L$ が接続されていれば切り離します。残る電源側の回路網は、依然として $R_1$ と $R_2$ からなる分圧回路です。

Step 2: $V_{th}$ を求める

出力端子間の開放電圧は、$R_2$ にかかる分圧電圧です。

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

したがって、$V_{th} = 8$ V です。

Step 3: $R_{th}$ を求める

独立電圧源を止めるので、$12$ V 電源は短絡になります。出力端子から見込むと、$R_1$ と $R_2$ はどちらも端子から接地へつながるため、並列になります。

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

したがって、$R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$ です。

負荷側から見れば、元の回路網は、$8$ V の電圧源と約 $2.67 \, \Omega$ の直列回路になります。

Step 4: 1つの負荷で試す

ここで $R_L = 5 \, \Omega$ を接続すると、負荷電流は

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

となります。したがって、$I_L \approx 1.04$ A です。さらに負荷電圧は

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

です。

したがって、$V_L \approx 5.2$ V です。これがテブナンの定理の大きな利点です。電源側の回路網を一度簡単化してしまえば、新しい負荷を試すのがすぐにできます。

テブナンの定理でよくあるミス

• 負荷をつないだまま $V_{th}$ を求めてしまう。標準的な定義では、端子の開放電圧を使います。
• 従属電源まで独立電源と同じように止めてしまう。多くの回路で誤った $R_{th}$ になります。
• テブナン等価回路は特定の端子対に対して定義されることを忘れる。端子が変われば、等価回路も変わることがあります。
• 電源変換と元の回路内部の簡単化を混同する。等価性は端子での振る舞いについてであり、内部の各枝の値がすべて同じになるわけではありません。

テブナンの定理が使われる場面

テブナン等価回路は、回路設計、測定の問題、センサーのインターフェース、負荷整合の問題などで現れます。また、電源側の回路網がどれだけ強く負荷を駆動できるかを表す実用的な方法でもあります。

この考え方がつかめたら、次に比べるべき自然な相手はノートン等価回路です。ノートン等価回路は、同じ端子での振る舞いを電流源の形で表します。

似た回路で試してみよう

同じ電源側の回路網のまま、負荷を $R_L = 10 \, \Omega$ に変えてみましょう。同じ $V_{th}$ と $R_{th}$ を使って、新しい負荷電流と負荷電圧を求めてください。さらに一歩進めたいなら、分圧回路の値を変えた自分の例を作り、$V_{th}$ と $R_{th}$ の両方がどう変わるかを確かめてみましょう。