테브난 정리

테브난 정리는 이렇게 말합니다. 회로가 선형이고 두 개의 출력 단자만 중요하다면, 전체 회로망을 하나의 이상 전압원 $V_{th}$와 하나의 저항 $R_{th}$의 직렬 연결로 바꿀 수 있습니다. 이 대체 회로는 그 단자에서 같은 전압-전류 관계를 가지므로, 그곳에 연결되는 어떤 부하도 원래와 똑같이 동작합니다.

기본적인 DC 저항 회로망에서는 방법이 빠릅니다. 부하를 제거하고, 개방회로 전압으로 $V_{th}$를 구하고, 같은 단자에서 본 저항으로 $R_{th}$를 구한 다음, 더 단순한 회로에 부하를 다시 연결하면 됩니다.

테브난 정리가 의미하는 것

이 정리는 원래 회로 내부가 실제로 배터리와 저항 하나로 물리적으로 바뀐다는 뜻이 아닙니다. 선택한 두 단자에서 보았을 때 회로가 동일하게 보인다는 뜻입니다.

이 조건은 중요합니다. 테브난 정리는 선형 회로망에 적용됩니다. 입문 문제에서는 보통 독립 전원이나 종속 전원이 있는 저항 회로를 뜻합니다. AC 해석에서는 같은 개념을 저항 대신 임피던스로 사용합니다.

학생들이 테브난 등가를 쓰는 이유

테브난 정리가 없으면 부하가 바뀔 때마다 전체 회로를 다시 풀어야 할 수 있습니다. 하지만 테브난 등가를 쓰면 전원 회로망을 한 번만 줄여 두고, 이후의 각 부하는 간단한 직렬회로 문제로 바뀝니다.

이 방법은 특히 여러 다른 부하값에 대해 부하 전류, 부하 전압, 또는 전력을 구하라고 할 때 유용합니다.

테브난 등가회로를 구하는 방법

1. 부하 제거

부하가 연결되는 두 단자를 정하고 부하를 분리합니다. 이후의 모든 계산은 바로 그 두 단자를 기준으로 합니다.

2. 개방회로 전압 구하기

개방된 두 단자 사이의 전압이 테브난 전압입니다.

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. 등가 저항 구하기

독립 전원만 있는 회로라면, 전원을 꺼서 단자 쪽에서 회로를 들여다봅니다.

• 각 독립 전압원은 단락 회로로 바꿉니다.
• 각 독립 전류원은 개방 회로로 바꿉니다.

단자에서 보이는 저항이 $R_{th}$입니다.

종속 전원이 있으면 이 지름길만으로는 충분하지 않습니다. 그런 경우에는 종속 전원을 그대로 둔 채 시험 전원이나 다른 올바른 방법을 사용해야 합니다.

4. 부하 다시 연결

이제 원래 회로망을 $V_{th}$와 $R_{th}$의 직렬 연결로 바꿉니다.

부하 $R_L$이 연결되면, 부하 전류는

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

이고, 부하 전압은

$$V_L = I_L R_L$$

입니다.

테브난 정리 풀이 예제

이상적인 $12$ V 전원이 $R_1 = 4 \, \Omega$와 $R_2 = 8 \, \Omega$의 직렬 분압 회로에 연결되어 있다고 합시다. 출력 단자는 $R_2$ 양단에 있고, 부하 $R_L$도 같은 단자에 연결될 예정입니다. $R_L$이 보게 되는 테브난 등가를 구해 봅시다.

Step 1: 부하 제거

$R_L$이 연결되어 있다면 분리합니다. 남는 전원 회로망은 여전히 $R_1$과 $R_2$로 이루어진 분압 회로입니다.

Step 2: $V_{th}$ 구하기

출력 단자 사이의 개방회로 전압은 $R_2$에 걸리는 분압 전압입니다.

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

따라서 $V_{th} = 8$ V입니다.

Step 3: $R_{th}$ 구하기

독립 전압원을 꺼서 $12$ V 전원을 단락 회로로 바꿉니다. 출력 단자에서 보면 $R_1$과 $R_2$는 모두 단자와 접지 사이에 연결되어 있으므로 병렬입니다.

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

따라서 $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$입니다.

부하의 관점에서 보면, 원래 회로망은 이제 $8$ V 전압원과 약 $2.67 \, \Omega$의 직렬 회로일 뿐입니다.

Step 4: 한 가지 부하를 연결해 보기

이제 $R_L = 5 \, \Omega$를 연결하면, 부하 전류는

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

입니다.

따라서 $I_L \approx 1.04$ A입니다. 그러면 부하 전압은

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

입니다.

따라서 $V_L \approx 5.2$ V입니다. 이것이 테브난 정리의 가장 큰 장점입니다. 전원 회로망을 한 번 줄여 두면, 새로운 부하를 시험하는 일이 매우 빨라집니다.

테브난 정리에서 자주 하는 실수

• 부하가 아직 연결된 상태에서 $V_{th}$를 구하는 것. 표준 정의는 개방회로 단자 전압을 사용합니다.
• 종속 전원을 독립 전원처럼 꺼 버리는 것. 많은 회로에서 이렇게 하면 잘못된 $R_{th}$가 나옵니다.
• 테브난 등가가 특정한 한 쌍의 단자에 대해 정의된다는 점을 잊는 것. 단자가 바뀌면 등가회로도 달라질 수 있습니다.
• 전원 변환과 원래 회로 내부의 단순화를 혼동하는 것. 등가는 단자 특성에 대한 것이지, 모든 내부 가지의 값이 같다는 뜻이 아닙니다.

테브난 정리를 사용하는 경우

테브난 등가는 회로 설계, 측정 문제, 센서 인터페이스, 부하 정합 문제에서 자주 등장합니다. 또한 전원 회로망이 부하를 얼마나 강하게 구동할 수 있는지 설명하는 실용적인 방법이기도 합니다.

이 개념이 이해되면, 노턴 등가는 자연스럽게 다음 비교 대상으로 이어집니다. 노턴 등가도 같은 단자 특성을 전류원 형태로 표현하기 때문입니다.

비슷한 회로를 직접 풀어 보기

같은 전원 회로망을 유지한 채 부하를 $R_L = 10 \, \Omega$로 바꿔 보세요. 같은 $V_{th}$와 $R_{th}$를 사용해 새로운 부하 전류와 전압을 구해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 분압 회로 값을 직접 바꿔 보고 $V_{th}$와 $R_{th}$가 어떻게 달라지는지도 확인해 보세요.