Satz von Thevenin

Der Satz von Thevenin besagt Folgendes: Wenn eine Schaltung linear ist und dich nur zwei Ausgangsklemmen interessieren, kannst du das gesamte Netzwerk durch eine ideale Spannungsquelle $V_{th}$ in Reihe mit einem Widerstand $R_{th}$ ersetzen. Dieser Ersatz liefert an diesen Klemmen dasselbe Strom-Spannungs-Verhalten, sodass sich jede dort angeschlossene Last genauso verhält.

Bei einfachen Gleichstrom-Widerstandsnetzwerken ist die Methode schnell: Last entfernen, die Leerlaufspannung für $V_{th}$ bestimmen, den von denselben Klemmen aus gesehenen Widerstand für $R_{th}$ finden und dann die Last wieder an die einfachere Schaltung anschließen.

Was der Satz von Thevenin bedeutet

Der Satz sagt nicht, dass das Innere der ursprünglichen Schaltung physikalisch mit einer Batterie und einem Widerstand identisch wird. Er sagt, dass die Schaltung von den gewählten zwei Klemmen aus identisch aussieht.

Diese Bedingung ist wichtig. Der Satz von Thevenin gilt für lineare Netzwerke. In Einführungsaufgaben bedeutet das meist Widerstände mit unabhängigen oder abhängigen Quellen. In der Wechselstromanalyse verwendet man dieselbe Idee mit der Impedanz statt mit dem Widerstand.

Warum Studierende Thevenin-Ersatzschaltungen verwenden

Ohne den Satz von Thevenin musst du die gesamte Schaltung möglicherweise jedes Mal neu lösen, wenn sich die Last ändert. Mit der Thevenin-Ersatzschaltung wird das Quellennetzwerk einmal reduziert, und jede neue Last wird dann zu einem einfachen Problem einer Reihenschaltung.

Das ist besonders nützlich, wenn nach Laststrom, Lastspannung oder Leistung für mehrere verschiedene Lastwerte gefragt wird.

So findet man eine Thevenin-Ersatzschaltung

1. Last entfernen

Wähle die zwei Klemmen, an denen die Last angeschlossen ist, und trenne die Last ab. Alles, was du als Nächstes berechnest, bezieht sich auf genau diese Klemmen.

2. Leerlaufspannung bestimmen

Die Spannung an den offenen Klemmen ist die Thevenin-Spannung:

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. Äquivalenten Widerstand bestimmen

Bei einer Schaltung mit nur unabhängigen Quellen schaltest du die Quellen ab und blickst von den Klemmen in die Schaltung hinein:

• Ersetze jede unabhängige Spannungsquelle durch einen Kurzschluss.
• Ersetze jede unabhängige Stromquelle durch eine Unterbrechung.

Der von den Klemmen aus gesehene Widerstand ist $R_{th}$.

Wenn abhängige Quellen vorhanden sind, reicht diese Abkürzung allein nicht aus. In diesem Fall lässt du die abhängigen Quellen aktiv und verwendest eine Testquelle oder eine andere gültige Methode.

4. Last wieder anschließen

Ersetze nun das ursprüngliche Netzwerk durch $V_{th}$ in Reihe mit $R_{th}$.

Wenn eine Last $R_L$ angeschlossen ist, gilt für den Laststrom

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

und für die Lastspannung

$$V_L = I_L R_L$$

Gelöstes Beispiel zum Satz von Thevenin

Angenommen, eine ideale Quelle mit $12$ V speist einen Spannungsteiler mit $R_1 = 4 \, \Omega$ in Reihe mit $R_2 = 8 \, \Omega$. Die Ausgangsklemmen liegen über $R_2$, und eine Last $R_L$ soll an genau diese Klemmen angeschlossen werden. Gesucht ist die Thevenin-Ersatzschaltung, die $R_L$ sieht.

Schritt 1: Last entfernen

Trenne $R_L$ ab, falls es vorhanden ist. Das verbleibende Quellennetzwerk ist weiterhin der Spannungsteiler aus $R_1$ und $R_2$.

Schritt 2: $V_{th}$ bestimmen

Die Leerlaufspannung an den Ausgangsklemmen ist die Teilerspannung über $R_2$:

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

Also ist $V_{th} = 8$ V.

Schritt 3: $R_{th}$ bestimmen

Schalte die unabhängige Spannungsquelle ab, sodass die $12$-V-Quelle zu einem Kurzschluss wird. Blickt man von den Ausgangsklemmen in die Schaltung, sind $R_1$ und $R_2$ beide von der Klemme nach Masse geschaltet und daher parallel:

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

Also ist $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$.

Aus Sicht der Last ist das ursprüngliche Netzwerk jetzt nur noch eine $8$-V-Quelle in Reihe mit etwa $2.67 \, \Omega$.

Schritt 4: Eine Last ausprobieren

Wenn du nun $R_L = 5 \, \Omega$ anschließt, ist der Laststrom

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

Also ist $I_L \approx 1.04$ A. Dann ist die Lastspannung

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

Also ist $V_L \approx 5.2$ V. Das ist der Hauptvorteil des Satzes von Thevenin: Sobald du das Quellennetzwerk reduziert hast, lässt sich eine neue Last schnell ausprobieren.

Häufige Fehler beim Satz von Thevenin

• $V_{th}$ bestimmen, obwohl die Last noch angeschlossen ist. Die Standarddefinition verwendet die Leerlaufspannung an den Klemmen.
• Abhängige Quellen so abschalten, als wären sie unabhängige Quellen. Das führt in vielen Schaltungen zu einem falschen $R_{th}$.
• Vergessen, dass Thevenin für ein bestimmtes Klemmenpaar definiert ist. Ändern sich die Klemmen, kann sich auch die Ersatzschaltung ändern.
• Quellenumwandlung mit einer Vereinfachung innerhalb der ursprünglichen Schaltung verwechseln. Die Äquivalenz bezieht sich auf das Verhalten an den Klemmen, nicht auf jeden inneren Zweigwert.

Wann der Satz von Thevenin verwendet wird

Thevenin-Ersatzschaltungen kommen in der Schaltungsentwicklung, bei Messaufgaben, Sensorschnittstellen und Fragen zur Lastanpassung vor. Sie sind außerdem eine praktische Möglichkeit, zu beschreiben, wie stark ein Quellennetzwerk eine Last treiben kann.

Sobald die Idee klar ist, sind Norton-Ersatzschaltungen der natürliche nächste Vergleich, weil sie dasselbe Klemmenverhalten in Form einer Stromquelle beschreiben.

Probiere eine ähnliche Schaltung aus

Behalte dasselbe Quellennetzwerk bei, aber ändere die Last zu $R_L = 10 \, \Omega$. Verwende dasselbe $V_{th}$ und $R_{th}$, um den neuen Laststrom und die neue Lastspannung zu bestimmen. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, probiere deine eigene Variante mit einem anderen Spannungsteiler aus und prüfe, wie sich sowohl $V_{th}$ als auch $R_{th}$ ändern.