Formules de l’accélération

Les formules de l’accélération décrivent à quelle vitesse la vitesse change. Le point de départ le plus important n’est pas une longue liste. C’est cette idée simple :

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

Cette formule donne l’accélération moyenne sur un intervalle de temps. Si la vitesse change de la même quantité chaque seconde, alors l’accélération est constante, et plusieurs autres formules de cinématique deviennent disponibles. Si l’accélération n’est pas constante, ces formules supplémentaires ne s’appliquent pas automatiquement.

La formule principale de l’accélération

L’accélération moyenne compare la variation de vitesse au temps écoulé :

$$a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

La vitesse inclut une direction, donc l’accélération dépend aussi de la direction. Une voiture qui ralentit dans le sens positif a une accélération négative. Une voiture qui accélère dans le sens négatif a aussi une accélération négative.

L’unité SI est le mètre par seconde carrée, noté $\mathrm{m/s^2}$. Cela signifie que la vitesse change d’un certain nombre de mètres par seconde à chaque seconde.

Formules à accélération constante

Si l’accélération reste constante sur l’intervalle, la définition de base se développe en équations standard de la cinématique :

$$v_f = v_i + at$$ $$\Delta x = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$

Ce ne sont pas des lois physiques distinctes qui fonctionnent partout. Ce sont des conséquences utiles d’une accélération constante. Dans beaucoup de problèmes d’introduction, cette condition est implicite. Dans un mouvement réel avec des forces variables ou de la traînée, il faut être plus prudent.

Ce que la formule signifie intuitivement

L’accélération décrit la rapidité avec laquelle la vitesse elle-même change, et pas seulement la rapidité du mouvement d’un objet.

Si la vitesse passe de $10\ \mathrm{m/s}$ à $14\ \mathrm{m/s}$ en $2\ \mathrm{s}$, alors l’accélération vaut

$$a = \frac{14 - 10}{2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

Cela signifie que la vitesse augmente de $2\ \mathrm{m/s}$ chaque seconde sur cet intervalle.

Exemple résolu : une voiture qui freine

Supposons qu’une voiture roule à $20\ \mathrm{m/s}$ et ralentisse jusqu’à $8\ \mathrm{m/s}$ en $4\ \mathrm{s}$.

Commencez par la formule principale :

$$a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{8 - 20}{4} = \frac{-12}{4} = -3\ \mathrm{m/s^2}$$

Le signe négatif est important. Il montre que l’accélération est dirigée à l’opposé de la direction positive initiale de la voiture.

Si vous supposez aussi que l’accélération de freinage est constante, vous pouvez trouver le déplacement pendant ces $4$ secondes. Sous accélération constante, la vitesse moyenne est

$$v_{avg} = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\ \mathrm{m/s}$$

Donc le déplacement est

$$\Delta x = v_{avg} t = 14 \cdot 4 = 56\ \mathrm{m}$$

Cette deuxième étape dépend de la condition d’accélération constante. La première non.

Erreurs fréquentes

• Utiliser la variation de la valeur de la vitesse alors que le problème demande en réalité la variation de la vitesse vectorielle. La direction peut changer le signe.
• Oublier que $v_f - v_i$ est une soustraction ordonnée. Inverser l’ordre change le signe de la réponse.
• Mélanger les unités, par exemple des kilomètres par heure avec des secondes, sans convertir d’abord.
• Utiliser des formules comme $v_f = v_i + at$ alors que l’accélération n’est pas constante sur l’intervalle.
• Considérer une accélération négative comme un « ralentissement » dans tous les cas. Négatif indique une direction dans votre système de coordonnées, pas automatiquement un mouvement plus lent.

Quand utilise-t-on les formules de l’accélération ?

Ces formules apparaissent en cinématique, dans les problèmes de freinage de véhicules, dans les modèles de chute libre qui négligent la résistance de l’air, et dans les graphes de mouvement où la pente ou la courbure représente une variation de vitesse.

La formule de base $a = \Delta v / \Delta t$ est le point de départ le plus sûr. Demandez-vous ensuite si le problème vous donne aussi la condition supplémentaire d’une accélération constante. Si c’est le cas, les équations de la cinématique peuvent faire gagner du temps.

Essayez votre propre version

Prenez un objet dont la vitesse passe de $5\ \mathrm{m/s}$ à $17\ \mathrm{m/s}$ en $3\ \mathrm{s}$. Calculez d’abord l’accélération moyenne. Demandez-vous ensuite si vous avez assez d’informations pour utiliser une formule de déplacement à accélération constante, ou si cela exigerait une hypothèse supplémentaire.