가속도 공식

가속도 공식은 속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 설명합니다. 가장 중요한 출발점은 긴 공식 목록이 아닙니다. 핵심은 이 한 가지 생각입니다:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

이 공식은 어떤 시간 구간에서의 평균가속도를 줍니다. 속도가 매초 같은 양만큼 변하면 가속도는 일정하고, 그때는 여러 다른 운동학 공식을 사용할 수 있습니다. 가속도가 일정하지 않다면, 그런 추가 공식들은 자동으로 적용되지 않습니다.

가속도의 기본 공식

평균가속도는 속도 변화량을 경과 시간과 비교한 것입니다:

$$a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

속도는 방향을 포함하므로 가속도도 방향의 영향을 받습니다. 양의 방향으로 가던 자동차가 느려지면 가속도는 음수입니다. 음의 방향으로 가던 자동차가 더 빨라져도 가속도는 역시 음수일 수 있습니다.

SI 단위는 제곱초당 미터로, $\mathrm{m/s^2}$라고 씁니다. 이는 속도가 매초 몇 $\mathrm{m/s}$씩 변한다는 뜻입니다.

등가속도 공식

가속도가 그 구간 동안 일정하다면, 기본 정의는 표준 운동학 방정식으로 확장됩니다:

$$v_f = v_i + at$$ $$\Delta x = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$

이 식들은 어디서나 통하는 서로 별개의 물리 법칙이 아닙니다. 일정한 가속도라는 조건에서 유도되는 유용한 결과입니다. 많은 입문 문제에서는 이 조건이 이미 주어져 있습니다. 하지만 힘이나 저항이 변하는 실제 운동에서는 더 주의해야 합니다.

이 공식을 직관적으로 이해하기

가속도는 물체가 얼마나 빨리 움직이는지가 아니라, 속도 자체가 얼마나 빨리 변하는지에 관한 개념입니다.

속도가 $2\ \mathrm{s}$ 동안 $10\ \mathrm{m/s}$에서 $14\ \mathrm{m/s}$로 변했다면, 가속도는

$$a = \frac{14 - 10}{2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

입니다. 이는 그 구간에서 속도가 매초 $2\ \mathrm{m/s}$씩 증가한다는 뜻입니다.

예제: 제동하는 자동차

자동차가 $20\ \mathrm{m/s}$로 달리다가 $4\ \mathrm{s}$ 동안 감속하여 $8\ \mathrm{m/s}$가 되었다고 합시다.

기본 공식부터 시작하면:

$$a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{8 - 20}{4} = \frac{-12}{4} = -3\ \mathrm{m/s^2}$$

음수 부호가 중요합니다. 이 값은 가속도의 방향이 자동차의 처음 양의 진행 방향과 반대임을 보여 줍니다.

제동 가속도가 일정하다고 추가로 가정하면, 그 $4$초 동안의 변위를 구할 수도 있습니다. 등가속도 운동에서는 평균속도가

$$v_{avg} = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\ \mathrm{m/s}$$

이므로, 변위는

$$\Delta x = v_{avg} t = 14 \cdot 4 = 56\ \mathrm{m}$$

입니다. 이 두 번째 단계는 가속도가 일정하다는 조건에 의존합니다. 첫 번째 단계는 그렇지 않습니다.

자주 하는 실수

• 문제에서 필요한 것은 속도 변화인데, 속력 변화만 사용하는 경우. 방향에 따라 부호가 달라질 수 있습니다.
• $v_f - v_i$가 순서가 있는 뺄셈이라는 점을 잊는 경우. 순서를 바꾸면 답의 부호도 바뀝니다.
• 먼저 단위를 바꾸지 않고 시속과 초처럼 서로 다른 단위를 섞어 쓰는 경우.
• 구간 동안 가속도가 일정하지 않은데도 $v_f = v_i + at$ 같은 공식을 사용하는 경우.
• 음의 가속도를 "항상 느려지는 것"으로 생각하는 경우. 음수는 좌표계에서의 방향을 뜻할 뿐, 자동으로 속력이 줄어든다는 의미는 아닙니다.

가속도 공식을 사용하는 경우

이 공식들은 운동학, 자동차 제동 문제, 공기 저항을 무시한 자유낙하 모델, 그리고 기울기나 굽음이 속도 변화를 나타내는 운동 그래프에서 자주 등장합니다.

기본 공식 $a = \Delta v / \Delta t$는 가장 안전한 출발점입니다. 그다음 문제에서 가속도가 일정하다는 추가 조건도 주어졌는지 확인하세요. 그렇다면 운동학 방정식을 사용해 시간을 절약할 수 있습니다.

직접 해 보기

어떤 물체의 속도가 $3\ \mathrm{s}$ 동안 $5\ \mathrm{m/s}$에서 $17\ \mathrm{m/s}$로 변한다고 해 봅시다. 먼저 평균가속도를 구해 보세요. 그다음 등가속도 변위 공식을 쓸 만큼 정보가 충분한지, 아니면 추가 가정이 필요한지도 생각해 보세요.