Formule dell’accelerazione

Le formule dell’accelerazione descrivono quanto rapidamente cambia la velocità. Il punto di partenza più importante non è un lungo elenco di formule. È questa idea fondamentale:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

Questa formula fornisce l’accelerazione media in un intervallo di tempo. Se la velocità cambia della stessa quantità ogni secondo, allora l’accelerazione è costante e diventano disponibili diverse altre formule di cinematica. Se l’accelerazione non è costante, quelle formule aggiuntive non si applicano automaticamente.

La formula principale dell’accelerazione

L’accelerazione media confronta la variazione di velocità con il tempo trascorso:

$$a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

La velocità include la direzione, quindi anche l’accelerazione dipende dalla direzione. Un’auto che rallenta nella direzione positiva ha accelerazione negativa. Un’auto che aumenta la velocità nella direzione negativa ha anch’essa accelerazione negativa.

L’unità SI è il metro al secondo quadrato, scritto come $\mathrm{m/s^2}$. Significa che la velocità cambia di un certo numero di metri al secondo ogni secondo.

Formule a accelerazione costante

Se l’accelerazione resta costante nell’intervallo, la definizione di base si estende alle equazioni standard della cinematica:

$$v_f = v_i + at$$ $$\Delta x = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$

Queste non sono leggi fisiche separate che funzionano ovunque. Sono conseguenze utili dell’accelerazione costante. In molti problemi introduttivi, questa condizione è già implicita. Nel moto reale, con forze variabili o resistenza dell’aria, serve più attenzione.

Cosa significa intuitivamente la formula

L’accelerazione riguarda la rapidità con cui cambia la velocità stessa, non solo quanto velocemente si muove un oggetto.

Se la velocità passa da $10\ \mathrm{m/s}$ a $14\ \mathrm{m/s}$ in $2\ \mathrm{s}$, l’accelerazione è

$$a = \frac{14 - 10}{2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

Questo significa che la velocità aumenta di $2\ \mathrm{m/s}$ ogni secondo in quell’intervallo.

Esempio svolto: un’auto in frenata

Supponi che un’auto si muova a $20\ \mathrm{m/s}$ e rallenti fino a $8\ \mathrm{m/s}$ in $4\ \mathrm{s}$.

Parti dalla formula principale:

$$a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{8 - 20}{4} = \frac{-12}{4} = -3\ \mathrm{m/s^2}$$

Il segno negativo è importante. Mostra che l’accelerazione è diretta in verso opposto rispetto alla direzione positiva iniziale dell’auto.

Se assumi anche che l’accelerazione di frenata sia costante, puoi trovare lo spostamento durante quei $4$ secondi. Con accelerazione costante, la velocità media è

$$v_{avg} = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\ \mathrm{m/s}$$

Quindi lo spostamento è

$$\Delta x = v_{avg} t = 14 \cdot 4 = 56\ \mathrm{m}$$

Questo secondo passaggio dipende dalla condizione di accelerazione costante. Il primo no.

Errori comuni

• Usare la variazione del modulo della velocità quando il problema richiede in realtà la variazione della velocità vettoriale. La direzione può cambiare il segno.
• Dimenticare che $v_f - v_i$ è una sottrazione con ordine preciso. Invertire l’ordine cambia il segno della risposta.
• Mescolare unità di misura, per esempio chilometri orari e secondi, senza prima convertire.
• Usare formule come $v_f = v_i + at$ quando l’accelerazione non è costante nell’intervallo.
• Considerare l’accelerazione negativa come “sempre rallentamento”. Negativa indica la direzione nel sistema di riferimento scelto, non automaticamente un moto più lento.

Quando si usano le formule dell’accelerazione

Queste formule compaiono nella cinematica, nei problemi di frenata dei veicoli, nei modelli di caduta libera che trascurano la resistenza dell’aria e nei grafici del moto in cui pendenza o curvatura rappresentano una velocità che cambia.

La formula di base $a = \Delta v / \Delta t$ è il punto di partenza più sicuro. Poi chiediti se il problema ti fornisce anche la condizione aggiuntiva di accelerazione costante. Se sì, le equazioni della cinematica possono farti risparmiare tempo.

Prova una tua versione

Prendi un oggetto la cui velocità cambia da $5\ \mathrm{m/s}$ a $17\ \mathrm{m/s}$ in $3\ \mathrm{s}$. Trova prima l’accelerazione media. Poi chiediti se hai abbastanza informazioni per usare una formula dello spostamento a accelerazione costante, oppure se questo richiederebbe un’ipotesi aggiuntiva.