Beschleunigungsformeln

Beschleunigungsformeln beschreiben, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert. Der wichtigste Ausgangspunkt ist keine lange Liste. Es ist diese eine Grundidee:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

Diese Formel liefert die mittlere Beschleunigung über ein Zeitintervall. Wenn sich die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Betrag ändert, ist die Beschleunigung konstant, und mehrere weitere Formeln der Kinematik werden nutzbar. Ist die Beschleunigung nicht konstant, gelten diese zusätzlichen Formeln nicht automatisch.

Die wichtigste Beschleunigungsformel

Die mittlere Beschleunigung vergleicht die Geschwindigkeitsänderung mit der verstrichenen Zeit:

$$a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

Geschwindigkeit hat eine Richtung, daher hängt auch die Beschleunigung von der Richtung ab. Ein Auto, das sich in positiver Richtung verlangsamt, hat eine negative Beschleunigung. Ein Auto, das in negativer Richtung schneller wird, hat ebenfalls eine negative Beschleunigung.

Die SI-Einheit ist Meter pro Sekunde zum Quadrat, geschrieben als $\mathrm{m/s^2}$. Das bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um eine bestimmte Anzahl von Metern pro Sekunde ändert.

Formeln für konstante Beschleunigung

Wenn die Beschleunigung im betrachteten Intervall konstant bleibt, erweitert sich die Grunddefinition zu den Standardgleichungen der Kinematik:

$$v_f = v_i + at$$ $$\Delta x = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$

Das sind keine eigenständigen Naturgesetze, die überall gelten. Sie sind nützliche Folgen konstanter Beschleunigung. In vielen Einführungsaufgaben ist diese Bedingung bereits gegeben. Bei realen Bewegungen mit veränderlichen Kräften oder Luftwiderstand musst du genauer hinschauen.

Was die Formel anschaulich bedeutet

Bei Beschleunigung geht es darum, wie schnell sich die Geschwindigkeit selbst ändert, nicht nur darum, wie schnell sich ein Objekt bewegt.

Wenn sich die Geschwindigkeit in $2\ \mathrm{s}$ von $10\ \mathrm{m/s}$ auf $14\ \mathrm{m/s}$ ändert, dann ist die Beschleunigung

$$a = \frac{14 - 10}{2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit in diesem Intervall in jeder Sekunde um $2\ \mathrm{m/s}$ zunimmt.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein bremsendes Auto

Angenommen, ein Auto fährt mit $20\ \mathrm{m/s}$ und wird in $4\ \mathrm{s}$ auf $8\ \mathrm{m/s}$ langsamer.

Beginne mit der Hauptformel:

$$a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{8 - 20}{4} = \frac{-12}{4} = -3\ \mathrm{m/s^2}$$

Das negative Vorzeichen ist wichtig. Es zeigt, dass die Beschleunigung der anfänglichen positiven Bewegungsrichtung des Autos entgegengerichtet ist.

Wenn du zusätzlich annimmst, dass die Bremsbeschleunigung konstant ist, kannst du die Verschiebung während dieser $4$ Sekunden bestimmen. Bei konstanter Beschleunigung ist die mittlere Geschwindigkeit

$$v_{avg} = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\ \mathrm{m/s}$$

Damit ist die Verschiebung

$$\Delta x = v_{avg} t = 14 \cdot 4 = 56\ \mathrm{m}$$

Dieser zweite Schritt hängt von der Annahme konstanter Beschleunigung ab. Der erste Schritt nicht.

Häufige Fehler

• Die Änderung des Betrags der Geschwindigkeit verwenden, obwohl die Aufgabe eigentlich die Änderung der Geschwindigkeit als Vektorgröße braucht. Die Richtung kann das Vorzeichen ändern.
• Vergessen, dass $v_f - v_i$ eine geordnete Subtraktion ist. Wenn du die Reihenfolge vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.
• Einheiten mischen, zum Beispiel Kilometer pro Stunde mit Sekunden, ohne vorher umzurechnen.
• Formeln wie $v_f = v_i + at$ verwenden, obwohl die Beschleunigung im Intervall nicht konstant ist.
• Negative Beschleunigung so behandeln, als bedeute sie „immer langsamer werden“. Negativ beschreibt die Richtung in deinem Koordinatensystem, nicht automatisch eine kleinere Geschwindigkeit.

Wann Beschleunigungsformeln verwendet werden

Diese Formeln tauchen in der Kinematik, bei Bremsproblemen von Fahrzeugen, in Freifallmodellen ohne Luftwiderstand und in Bewegungsdiagrammen auf, in denen Steigung oder Krümmung eine veränderliche Geschwindigkeit darstellen.

Die Grundformel $a = \Delta v / \Delta t$ ist der sicherste Startpunkt. Frage dann, ob die Aufgabe zusätzlich die Bedingung konstanter Beschleunigung vorgibt. Wenn ja, können die kinematischen Gleichungen Zeit sparen.

Probiere deine eigene Variante

Nimm ein Objekt, dessen Geschwindigkeit sich in $3\ \mathrm{s}$ von $5\ \mathrm{m/s}$ auf $17\ \mathrm{m/s}$ ändert. Bestimme zuerst die mittlere Beschleunigung. Frage dann, ob du genug Informationen hast, um eine Verschiebungsformel für konstante Beschleunigung zu verwenden, oder ob dafür eine zusätzliche Annahme nötig wäre.