Τύποι επιτάχυνσης

Οι τύποι επιτάχυνσης περιγράφουν πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα. Το πιο σημαντικό σημείο εκκίνησης δεν είναι μια μεγάλη λίστα τύπων. Είναι αυτή η μία ιδέα:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$

Αυτός ο τύπος δίνει τη μέση επιτάχυνση σε ένα χρονικό διάστημα. Αν η ταχύτητα αλλάζει κατά το ίδιο ποσό κάθε δευτερόλεπτο, τότε η επιτάχυνση είναι σταθερή και μπορούν να χρησιμοποιηθούν αρκετοί ακόμη τύποι της κινηματικής. Αν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή, αυτοί οι επιπλέον τύποι δεν ισχύουν αυτόματα.

Ο βασικός τύπος της επιτάχυνσης

Η μέση επιτάχυνση συγκρίνει τη μεταβολή της ταχύτητας με τον χρόνο που πέρασε:

$$a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

Η ταχύτητα έχει και διεύθυνση, άρα και η επιτάχυνση εξαρτάται από τη διεύθυνση. Ένα αυτοκίνητο που επιβραδύνεται προς τη θετική κατεύθυνση έχει αρνητική επιτάχυνση. Ένα αυτοκίνητο που αυξάνει την ταχύτητά του προς την αρνητική κατεύθυνση έχει επίσης αρνητική επιτάχυνση.

Η μονάδα SI είναι μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο, και γράφεται ως $\mathrm{m/s^2}$. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα αλλάζει κατά κάποιον αριθμό μέτρων ανά δευτερόλεπτο σε κάθε δευτερόλεπτο.

Τύποι σταθερής επιτάχυνσης

Αν η επιτάχυνση παραμένει σταθερή στο διάστημα που εξετάζουμε, ο βασικός ορισμός επεκτείνεται στις τυπικές εξισώσεις της κινηματικής:

$$v_f = v_i + at$$ $$\Delta x = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$$

Αυτοί δεν είναι ξεχωριστοί νόμοι της φυσικής που ισχύουν παντού. Είναι χρήσιμα αποτελέσματα της σταθερής επιτάχυνσης. Σε πολλά εισαγωγικά προβλήματα, αυτή η συνθήκη θεωρείται δεδομένη. Σε πραγματική κίνηση με μεταβαλλόμενες δυνάμεις ή αντίσταση, χρειάζεται περισσότερη προσοχή.

Τι σημαίνει διαισθητικά ο τύπος

Η επιτάχυνση αφορά το πόσο γρήγορα αλλάζει η ίδια η ταχύτητα, όχι απλώς το πόσο γρήγορα κινείται ένα αντικείμενο.

Αν η ταχύτητα αλλάζει από $10\ \mathrm{m/s}$ σε $14\ \mathrm{m/s}$ μέσα σε $2\ \mathrm{s}$, η επιτάχυνση είναι

$$a = \frac{14 - 10}{2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα αυξάνεται κατά $2\ \mathrm{m/s}$ κάθε δευτερόλεπτο σε αυτό το διάστημα.

Λυμένο παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο που φρενάρει

Έστω ότι ένα αυτοκίνητο κινείται με $20\ \mathrm{m/s}$ και μειώνει την ταχύτητά του στα $8\ \mathrm{m/s}$ μέσα σε $4\ \mathrm{s}$.

Ξεκινάμε με τον βασικό τύπο:

$$a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{8 - 20}{4} = \frac{-12}{4} = -3\ \mathrm{m/s^2}$$

Το αρνητικό πρόσημο έχει σημασία. Δείχνει ότι η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση αντίθετη από την αρχική θετική κατεύθυνση του αυτοκινήτου.

Αν υποθέσουμε επίσης ότι η επιτάχυνση κατά το φρενάρισμα είναι σταθερή, μπορούμε να βρούμε τη μετατόπιση σε αυτά τα $4$ δευτερόλεπτα. Με σταθερή επιτάχυνση, η μέση ταχύτητα είναι

$$v_{avg} = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\ \mathrm{m/s}$$

Άρα η μετατόπιση είναι

$$\Delta x = v_{avg} t = 14 \cdot 4 = 56\ \mathrm{m}$$

Αυτό το δεύτερο βήμα εξαρτάται από τη συνθήκη της σταθερής επιτάχυνσης. Το πρώτο βήμα όχι.

Συνηθισμένα λάθη

• Χρήση της μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας ενώ το πρόβλημα χρειάζεται μεταβολή της ταχύτητας ως διανυσματικού μεγέθους. Η διεύθυνση μπορεί να αλλάξει το πρόσημο.
• Να ξεχνάς ότι το $v_f - v_i$ είναι αφαίρεση με συγκεκριμένη σειρά. Αν αντιστρέψεις τη σειρά, αλλάζει το πρόσημο της απάντησης.
• Ανάμειξη μονάδων, όπως χιλιόμετρα ανά ώρα με δευτερόλεπτα, χωρίς πρώτα να γίνουν μετατροπές.
• Χρήση τύπων όπως $v_f = v_i + at$ όταν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή στο διάστημα.
• Να θεωρείς ότι η αρνητική επιτάχυνση σημαίνει «πάντα επιβράδυνση». Το αρνητικό δείχνει κατεύθυνση στο σύστημα συντεταγμένων σου, όχι απαραίτητα πιο αργή κίνηση.

Πού χρησιμοποιούνται οι τύποι επιτάχυνσης

Αυτοί οι τύποι εμφανίζονται στην κινηματική, σε προβλήματα φρεναρίσματος οχημάτων, σε μοντέλα ελεύθερης πτώσης που αγνοούν την αντίσταση του αέρα και σε γραφήματα κίνησης όπου η κλίση ή η καμπυλότητα παριστάνει μεταβαλλόμενη ταχύτητα.

Ο βασικός τύπος $a = \Delta v / \Delta t$ είναι το ασφαλέστερο σημείο εκκίνησης. Έπειτα πρέπει να ρωτήσεις αν το πρόβλημα σου δίνει και την επιπλέον συνθήκη της σταθερής επιτάχυνσης. Αν ναι, οι εξισώσεις της κινηματικής μπορούν να σου εξοικονομήσουν χρόνο.

Δοκίμασέ το μόνος σου

Πάρε ένα αντικείμενο που αλλάζει ταχύτητα από $5\ \mathrm{m/s}$ σε $17\ \mathrm{m/s}$ μέσα σε $3\ \mathrm{s}$. Βρες πρώτα τη μέση επιτάχυνση. Έπειτα σκέψου αν έχεις αρκετές πληροφορίες για να χρησιμοποιήσεις έναν τύπο μετατόπισης με σταθερή επιτάχυνση ή αν αυτό θα απαιτούσε μια επιπλέον υπόθεση.