Résoudre une équation du second degré

Pour résoudre une équation du second degré, on la réécrit sous forme standard puis on cherche la ou les valeurs de $x$ qui rendent l’égalité vraie. La forme standard est

$$ax^2 + bx + c = 0$$

avec $a \ne 0$. La plupart des exercices d’élèves se ramènent à trois méthodes : la factorisation, la complétion du carré ou l’utilisation de la formule quadratique. La compétence essentielle consiste à choisir la méthode la plus simple pour l’équation que vous avez sous les yeux.

Ce Que Signifie Résoudre Une Équation Du Second Degré

On cherche les racines, ou solutions, de l’équation. Sur un graphique, ce sont les valeurs de $x$ où la parabole coupe l’axe des $x$.

Une équation du second degré peut avoir deux solutions réelles, une solution réelle double ou aucune solution réelle. Si l’on travaille dans les nombres complexes, toute équation du second degré a tout de même deux solutions en comptant les multiplicités.

Comment Choisir Une Méthode

Avant de faire des calculs algébriques, regroupez tous les termes d’un côté pour que l’autre côté soit égal à $0$. Cela rend la structure plus facile à voir et aide à décider quelle méthode convient.

• Si l’expression se factorise facilement, la factorisation est généralement la méthode la plus rapide.
• Si l’équation est proche d’un carré parfait, la complétion du carré peut être efficace.
• Si aucune de ces approches n’est pratique, la formule quadratique fonctionne pour toute équation du second degré.

Un autre raccourci utile est le discriminant,

$$b^2 - 4ac$$

qui indique quel type de solutions réelles on peut attendre.

• Si $b^2 - 4ac > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes.
• Si $b^2 - 4ac = 0$, il y a une solution réelle double.
• Si $b^2 - 4ac < 0$, il n’y a pas de solution réelle.

Cela ne résout pas l’équation à lui seul, mais cela indique quel type de réponse doit avoir du sens avant même de commencer les calculs.

Les Trois Méthodes Principales

Factorisation

La factorisation fonctionne lorsque l’équation du second degré peut être réécrite comme un produit tel que

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

On utilise alors la règle du produit nul : si un produit vaut $0$, alors au moins un des facteurs doit être nul. Les solutions sont donc $x = 2$ et $x = 3$.

Complétion Du Carré

La complétion du carré réécrit l’équation du second degré sous une forme comme

$$(x - h)^2 = k$$

C’est particulièrement utile lorsque la factorisation est peu pratique et que l’on veut voir l’équation comme une expression au carré.

Formule Quadratique

La formule quadratique s’applique toujours lorsque l’équation est sous forme standard :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

C’est la méthode générale la plus fiable, mais ce n’est pas toujours la plus rapide si l’équation se factorise immédiatement.

Exemple Résolu : Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$

Cette équation est déjà sous forme standard, donc on vérifie d’abord si elle se factorise. Il faut deux nombres dont le produit vaut $6$ et la somme vaut $-5$. Ces nombres sont $-2$ et $-3$, donc

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

On résout maintenant

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

On pose ensuite chaque facteur égal à zéro :

$$x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 3 = 0$$

Les solutions sont donc

$$x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3$$

Vérifiez les deux réponses dans l’équation d’origine :

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

Les deux vérifications sont correctes, donc les solutions sont justes.

Erreurs Courantes

Une erreur fréquente consiste à choisir une méthode avant d’avoir déplacé tous les termes d’un même côté. Par exemple, résoudre $x^2 = 5x - 6$ devient beaucoup plus simple après l’avoir réécrite sous la forme $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Une autre erreur consiste à oublier une des solutions. Une équation du second degré peut avoir deux solutions réelles ; après une factorisation ou après avoir utilisé le $\pm$ dans la formule quadratique, assurez-vous de conserver les deux possibilités lorsqu’elles existent.

Une troisième erreur consiste à utiliser la formule quadratique avec les mauvais signes pour $a$, $b$ ou $c$. Cela arrive généralement lorsque l’équation n’a pas d’abord été écrite sous forme standard.

Où Utilise-T-On Cela ?

Les équations du second degré apparaissent en algèbre, dans les graphiques, en optimisation et dans les problèmes de mouvement. Si une relation contient une variable au carré, résoudre une équation du second degré est souvent l’étape qui donne la valeur pertinente de $x$.

La méthode dépend de l’équation. Une équation du second degré qui se factorise proprement récompense la reconnaissance de motifs. Une équation plus compliquée se traite souvent plus facilement avec la formule quadratique.

Essayez Un Problème Similaire

Essayez de résoudre $x^2 - 7x + 12 = 0$ et choisissez la méthode avant de calculer. Une bonne étape suivante consiste à résoudre la même équation par factorisation puis avec la formule quadratique, puis à comparer quelle méthode vous semble la plus directe.