Loi de Poisson — Formule, espérance et exemples

La loi de Poisson donne la probabilité d’obtenir $0, 1, 2, \dots$ événements dans un intervalle fixe lorsque les événements se produisent indépendamment et que le taux moyen reste à peu près constant. Si vous connaissez le nombre moyen d’appels, de défauts ou d’arrivées sur un intervalle, le modèle de Poisson vous aide à trouver la probabilité d’un nombre exact.

La condition essentielle est le choix du modèle, pas l’algèbre. Si l’indépendance ou un taux à peu près constant n’est pas raisonnable, la formule de Poisson peut sembler correcte tout en répondant à la mauvaise question.

Formule de la loi de Poisson

Si $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$, alors pour tout entier $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Ici, $k$ est le nombre exact d’événements recherché, et $\lambda$ est le nombre attendu d’événements dans l’intervalle choisi.

Pour un modèle de Poisson, l’espérance et la variance sont toutes deux égales à $\lambda$ :

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Cela ne veut pas dire que chaque jeu de données réel a une espérance et une variance identiques. Cela signifie que le modèle de Poisson prédit cette relation.

Ce que signifie $\lambda$ en langage simple

$\lambda$ est le nombre moyen pour un intervalle précis. Cet intervalle peut être une heure, un mètre carré, une page ou un kilomètre, mais il faut le définir clairement.

Si un magasin reçoit en moyenne $3$ appels par heure, alors $\lambda = 3$ pour un intervalle d’une heure. Pour un intervalle de deux heures, on utiliserait $\lambda = 6$ seulement si le même taux moyen reste pertinent sur ces deux heures.

C’est l’une des erreurs les plus faciles à commettre. Quand l’intervalle change, $\lambda$ change généralement aussi.

Exemple corrigé : exactement 2 appels en 1 heure

Supposons qu’un petit magasin reçoive en moyenne $3$ appels de clients par heure. Si les arrivées d’appels sont raisonnablement indépendantes et que le taux moyen est stable, quelle est la probabilité d’obtenir exactement $2$ appels dans l’heure qui vient ?

Ici, $\lambda = 3$ et $k = 2$, donc :

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Simplifions étape par étape :

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

En utilisant $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

La probabilité est donc d’environ $0.224$, soit $22.4\%$. Dans ce contexte, cela signifie qu’obtenir exactement $2$ appels dans l’heure suivante est un résultat assez ordinaire, pas une surprise rare.

Quand un modèle de Poisson a du sens

Utilisez un modèle de Poisson lorsque toutes les conditions suivantes sont raisonnablement vraies :

• Vous comptez des occurrences, et vous ne mesurez pas une valeur continue comme le temps ou la taille.
• Le comptage est effectué sur un intervalle fixe, comme une heure ou une page.
• Le taux moyen est à peu près constant sur cet intervalle.
• Un événement ne rend pas directement un autre événement beaucoup plus ou beaucoup moins probable.

C’est pourquoi la loi de Poisson apparaît en théorie des files d’attente, en fiabilité, dans les flux de trafic, les télécommunications et le contrôle qualité. Elle fonctionne mieux pour des données de comptage avec un taux stable, et non pour des situations avec un fort regroupement ou des effets marqués selon l’heure de la journée.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de Poisson

Utiliser Poisson pour des données non discrètes

La loi de Poisson s’applique à $0, 1, 2, 3, \dots$. Elle ne modélise pas des mesures continues comme la taille, le temps ou la température.

Oublier de redimensionner $\lambda$

Si $\lambda = 3$ par heure, cela ne signifie pas que $\lambda = 3$ par tranche de $30$ minutes. Pour une demi-heure, le paramètre correspondant serait $\lambda = 1.5$ si le même taux moyen reste valable.

Penser que « événement rare » est la règle complète

L’idée de « rare » aide l’intuition, mais ce n’est pas la règle complète. La vraie question est de savoir si un intervalle fixe, un taux moyen à peu près constant et une indépendance approximative sont raisonnables.

Traiter l’égalité entre espérance et variance comme une loi de la nature

Pour un modèle de Poisson, l’espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$. Les données réelles ne se comportent pas toujours de façon aussi nette, donc cette égalité est une propriété du modèle, pas une loi de la nature.

Poisson ou binomiale

Utilisez un modèle de Poisson lorsque vous comptez combien d’événements se produisent dans un intervalle et qu’il n’y a pas de nombre fixe d’essais dans la situation.

Utilisez un modèle binomial lorsque vous avez déjà un nombre fixe d’essais, chacun avec la même probabilité de succès. Par exemple, compter les ampoules défectueuses dans un échantillon de $20$ ampoules testées relève d’un modèle binomial, car le nombre d’essais est fixé à $20$.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec une moyenne de $5$ livraisons par jour. Calculez la probabilité d’obtenir exactement $4$ livraisons demain, puis changez l’intervalle à une demi-journée et déterminez ce qui arrive à $\lambda$ avant de faire le calcul.