Κατανομή Poisson — Τύπος, Μέση Τιμή & Παραδείγματα

Η κατανομή Poisson δίνει την πιθανότητα να προκύψουν $0, 1, 2, \dots$ γεγονότα σε ένα σταθερό διάστημα, όταν τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα και ο μέσος ρυθμός παραμένει περίπου σταθερός. Αν γνωρίζεις τον μέσο αριθμό κλήσεων, ελαττωμάτων ή αφίξεων σε ένα διάστημα, το μοντέλο Poisson σε βοηθά να βρεις την πιθανότητα ενός ακριβούς πλήθους.

Η βασική προϋπόθεση είναι η σωστή επιλογή μοντέλου, όχι η άλγεβρα. Αν η ανεξαρτησία ή ο περίπου σταθερός ρυθμός δεν είναι λογικές υποθέσεις, ο τύπος της Poisson μπορεί να φαίνεται σωστός αλλά να απαντά σε λάθος ερώτημα.

Τύπος της κατανομής Poisson

Αν $X$ ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda > 0$, τότε για κάθε ακέραιο αριθμό $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Εδώ, το $k$ είναι ο ακριβής αριθμός γεγονότων που θέλεις, και το $\lambda$ είναι ο αναμενόμενος αριθμός γεγονότων στο διάστημα που έχεις επιλέξει.

Για ένα μοντέλο Poisson, η μέση τιμή και η διακύμανση είναι και οι δύο ίσες με $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Αυτό δεν σημαίνει ότι κάθε πραγματικό σύνολο δεδομένων έχει ίδια μέση τιμή και διακύμανση. Σημαίνει ότι το μοντέλο Poisson προβλέπει αυτή τη σχέση.

Τι σημαίνει το $\lambda$ με απλά λόγια

Το $\lambda$ είναι ο μέσος αριθμός εμφανίσεων σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Το διάστημα μπορεί να είναι μία ώρα, ένα τετραγωνικό μέτρο, μία σελίδα ή ένα χιλιόμετρο, αλλά πρέπει να το ορίσεις καθαρά.

Αν ένα κατάστημα δέχεται κατά μέσο όρο $3$ κλήσεις την ώρα, τότε $\lambda = 3$ για διάστημα μίας ώρας. Για διάστημα δύο ωρών, θα χρησιμοποιούσες $\lambda = 6$ μόνο αν ο ίδιος μέσος ρυθμός εξακολουθεί να έχει νόημα σε αυτές τις δύο ώρες.

Αυτός είναι ένας από τους πιο εύκολους τρόπους να γίνει λάθος. Όταν αλλάζει το διάστημα, συνήθως αλλάζει και το $\lambda$.

Λυμένο παράδειγμα: ακριβώς 2 κλήσεις σε 1 ώρα

Έστω ότι ένα μικρό κατάστημα δέχεται κατά μέσο όρο $3$ τηλεφωνήματα πελατών την ώρα. Αν οι αφίξεις των κλήσεων είναι αρκετά ανεξάρτητες και ο μέσος ρυθμός είναι σταθερός, ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί ακριβώς $2$ κλήσεις την επόμενη ώρα;

Εδώ, $\lambda = 3$ και $k = 2$, άρα:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Απλοποιούμε βήμα προς βήμα:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Χρησιμοποιώντας $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Άρα η πιθανότητα είναι περίπου $0.224$, ή $22.4\%$. Στο συγκεκριμένο πλαίσιο, αυτό σημαίνει ότι το να υπάρξουν ακριβώς $2$ κλήσεις την επόμενη ώρα είναι ένα αρκετά συνηθισμένο αποτέλεσμα, όχι κάτι σπάνιο ή απρόσμενο.

Πότε έχει νόημα ένα μοντέλο Poisson

Χρησιμοποίησε ένα μοντέλο Poisson όταν όλα τα παρακάτω είναι περίπου αληθή:

• Μετράς πλήθος εμφανίσεων, όχι μια συνεχή ποσότητα όπως ο χρόνος ή το ύψος.
• Η καταμέτρηση γίνεται σε ένα σταθερό διάστημα, όπως μία ώρα ή μία σελίδα.
• Ο μέσος ρυθμός είναι περίπου σταθερός μέσα σε αυτό το διάστημα.
• Ένα γεγονός δεν κάνει άμεσα ένα άλλο γεγονός πολύ πιο ή λιγότερο πιθανό.

Γι’ αυτό η κατανομή Poisson εμφανίζεται στη θεωρία ουρών, στην αξιοπιστία, στη ροή κυκλοφορίας, στις τηλεπικοινωνίες και στον ποιοτικό έλεγχο. Λειτουργεί καλύτερα για δεδομένα καταμέτρησης με σταθερό ρυθμό, όχι για καταστάσεις με έντονη συσσωμάτωση ή ισχυρές επιδράσεις της ώρας της ημέρας.

Συνηθισμένα λάθη σε ασκήσεις Poisson

Χρήση της Poisson για δεδομένα που δεν είναι μετρήσεις πλήθους

Η κατανομή Poisson είναι για $0, 1, 2, 3, \dots$. Δεν μοντελοποιεί συνεχείς μετρήσεις όπως το ύψος, ο χρόνος ή η θερμοκρασία.

Να ξεχνάς να προσαρμόζεις το $\lambda$

Αν $\lambda = 3$ ανά ώρα, αυτό δεν σημαίνει ότι $\lambda = 3$ ανά $30$ λεπτά. Για μισή ώρα, η αντίστοιχη παράμετρος θα ήταν $\lambda = 1.5$, αν ισχύει ο ίδιος μέσος ρυθμός.

Να νομίζεις ότι το «σπάνιο γεγονός» είναι ο πλήρης κανόνας

Το «σπάνιο» βοηθά στη διαίσθηση, αλλά δεν είναι ο πλήρης κανόνας. Το πραγματικό ερώτημα είναι αν ένα σταθερό διάστημα, ένας περίπου σταθερός μέσος ρυθμός και η κατά προσέγγιση ανεξαρτησία είναι λογικές υποθέσεις.

Να θεωρείς ότι η μέση τιμή ίση με τη διακύμανση είναι νόμος της φύσης

Για ένα μοντέλο Poisson, η μέση τιμή και η διακύμανση είναι και οι δύο $\lambda$. Τα πραγματικά δεδομένα δεν συμπεριφέρονται πάντα τόσο καθαρά, άρα αυτή η ισότητα είναι ιδιότητα του μοντέλου, όχι νόμος της φύσης.

Poisson vs. διωνυμική

Χρησιμοποίησε μοντέλο Poisson όταν μετράς πόσα γεγονότα συμβαίνουν σε ένα διάστημα και δεν υπάρχει ενσωματωμένος στο πρόβλημα σταθερός αριθμός δοκιμών.

Χρησιμοποίησε διωνυμικό μοντέλο όταν έχεις ήδη έναν σταθερό αριθμό δοκιμών, καθεμία με την ίδια πιθανότητα επιτυχίας. Για παράδειγμα, η καταμέτρηση ελαττωματικών λαμπτήρων σε δείγμα $20$ ελεγμένων λαμπτήρων είναι διωνυμική, επειδή ο αριθμός των δοκιμών είναι σταθερός και ίσος με $20$.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με μέσο όρο $5$ παραδόσεις την ημέρα. Βρες την πιθανότητα να γίνουν ακριβώς $4$ παραδόσεις αύριο και μετά άλλαξε το διάστημα σε μισή ημέρα για να αποφασίσεις τι συμβαίνει με το $\lambda$ πριν κάνεις τον υπολογισμό.