ポアソン分布 — 公式・平均・例題

ポアソン分布は、ある一定の区間で事象が独立に起こり、平均発生率がおおむね一定であるときに、$0, 1, 2, \dots$ 回起こる確率を表します。1区間あたりの平均的な電話件数、不良品数、到着数がわかっていれば、ポアソン分布を使って「ちょうど何回起こるか」の確率を求められます。

大事なのは計算そのものより、モデルの選び方です。独立性や平均発生率がほぼ一定という前提が妥当でないと、ポアソン分布の式を正しく使っていても、問いに合わない答えになることがあります。

ポアソン分布の公式

確率変数 $X$ がパラメータ $\lambda > 0$ のポアソン分布に従うとき、任意の整数 $k \ge 0$ に対して、

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

となります。

ここで、$k$ は求めたい事象のちょうどの回数、$\lambda$ は選んだ区間における期待される事象の回数です。

ポアソン分布では、平均と分散はどちらも $\lambda$ に等しくなります。

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

ただし、実際のすべてのデータで平均と分散が一致するわけではありません。これはポアソン分布というモデルが予測する性質です。

$\lambda$ の意味をやさしく説明すると

$\lambda$ は、ある特定の区間における平均回数です。その区間は1時間、1平方メートル、1ページ、1キロメートルなどでもかまいませんが、はっきり定義する必要があります。

ある店に1時間あたり平均 $3$ 件の電話がかかってくるなら、1時間という区間では $\lambda = 3$ です。2時間の区間にするなら、その2時間でも同じ平均発生率が成り立つ場合に限って $\lambda = 6$ を使います。

ここはとても間違えやすい点です。区間が変われば、通常は $\lambda$ も変わります。

計算例：1時間にちょうど2件の電話がある確率

ある小さな店には、1時間あたり平均 $3$ 件の客からの電話があります。電話の到着がほぼ独立で、平均発生率も安定しているとすると、次の1時間にちょうど $2$ 件の電話がある確率はどれくらいでしょうか。

ここでは $\lambda = 3$、$k = 2$ なので、

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

となります。

順に整理すると、

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

さらに $e^{-3} \approx 0.0498$ を使うと、

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

したがって、確率は約 $0.224$、つまり $22.4\%$ です。文脈に沿って言えば、次の1時間にちょうど $2$ 件の電話があるのは、珍しい出来事ではなく、十分ありそうな結果です。

ポアソン分布が適している場面

次の条件がだいたい成り立つとき、ポアソン分布を使うのが適切です。

• 時間や身長のような連続量を測るのではなく、起こった回数を数えている。
• 回数は1時間や1ページのような固定された区間で数えている。
• その区間の中で平均発生率がおおむね一定である。
• ある事象が起こっても、別の事象の起こりやすさが大きく直接変わらない。

このため、ポアソン分布は待ち行列、信頼性、交通流、通信、品質管理などでよく使われます。安定した発生率をもつカウントデータには向いていますが、強い集中や時間帯による大きな変動がある場合には適しません。

ポアソン分布の問題でよくあるミス

回数データ以外にポアソン分布を使う

ポアソン分布が扱うのは $0, 1, 2, 3, \dots$ のような回数です。身長、時間、気温のような連続的な測定値には使えません。

$\lambda$ の換算を忘れる

$\lambda = 3$ が1時間あたりだからといって、30分あたりでも $\lambda = 3$ とはなりません。30分なら、同じ平均発生率が成り立つとき、対応するパラメータは $\lambda = 1.5$ です。

「まれな事象」だけが条件だと思う

「まれ」という言い方はイメージをつかむ助けにはなりますが、それだけでは十分ではありません。本当に大切なのは、固定された区間、ほぼ一定の平均発生率、そして近似的な独立性が妥当かどうかです。

平均＝分散を自然法則のように考える

ポアソン分布では平均と分散はどちらも $\lambda$ です。しかし実際のデータがいつもその通りになるとは限りません。この等式は自然法則ではなく、モデルの性質です。

ポアソン分布と二項分布の違い

ある区間の中で何回事象が起こるかを数え、しかも設定の中に固定された試行回数がないなら、ポアソン分布を使います。

一方、すでに試行回数が固定されていて、各試行の成功確率が同じなら、二項分布を使います。たとえば、検査した $20$ 個の電球の中に不良品がいくつあるかを数える問題は、試行回数が $20$ 回に固定されているので二項分布です。

似た問題に挑戦してみよう

1日あたり平均 $5$ 件の配達がある場合で、自分でも試してみましょう。明日ちょうど $4$ 件の配達がある確率を求め、そのあと区間を半日に変えて、計算する前に $\lambda$ がどう変わるかを考えてみてください。