การแจกแจงปัวซอง — สูตร ค่าเฉลี่ย และตัวอย่าง

การแจกแจงปัวซองใช้หาความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ $0, 1, 2, \dots$ ครั้งในช่วงคงที่ช่วงหนึ่ง เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างอิสระต่อกัน และอัตราเฉลี่ยค่อนข้างคงที่ หากคุณรู้จำนวนสายโทรศัพท์ ข้อบกพร่อง หรือการมาถึงโดยเฉลี่ยในหนึ่งช่วง การแจกแจงปัวซองจะช่วยหาความน่าจะเป็นของจำนวนที่เกิดขึ้นแบบพอดีได้

เงื่อนไขสำคัญอยู่ที่การเลือกแบบจำลอง ไม่ใช่แค่การแทนสูตร หากสมมติฐานเรื่องความเป็นอิสระหรืออัตราเฉลี่ยที่ค่อนข้างคงที่ไม่สมเหตุสมผล สูตรปัวซองอาจดูถูกต้องแต่ตอบคำถามผิดได้

สูตรการแจกแจงปัวซอง

ถ้า $X$ มีการแจกแจงปัวซองที่มีพารามิเตอร์ $\lambda > 0$ แล้วสำหรับจำนวนเต็มทุกค่า $k \ge 0$ จะได้ว่า

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

ในที่นี้ $k$ คือจำนวนเหตุการณ์แบบพอดีที่คุณต้องการ และ $\lambda$ คือจำนวนเหตุการณ์คาดหมายในช่วงที่คุณกำหนด

สำหรับแบบจำลองปัวซอง ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจะเท่ากับ $\lambda$ ทั้งคู่:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

ไม่ได้หมายความว่าข้อมูลจริงทุกชุดจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับความแปรปรวน แต่หมายความว่าแบบจำลองปัวซองทำนายความสัมพันธ์แบบนั้น

$\lambda$ หมายถึงอะไรแบบเข้าใจง่าย

$\lambda$ คือจำนวนเฉลี่ยสำหรับช่วงหนึ่งช่วงที่กำหนดชัดเจน ช่วงนั้นอาจเป็นหนึ่งชั่วโมง หนึ่งตารางเมตร หนึ่งหน้า หรือหนึ่งกิโลเมตร แต่ต้องระบุให้ชัด

ถ้าร้านค้าแห่งหนึ่งได้รับสายเฉลี่ย $3$ สายต่อชั่วโมง ก็จะมี $\lambda = 3$ สำหรับช่วงหนึ่งชั่วโมง สำหรับช่วงสองชั่วโมง คุณจะใช้ $\lambda = 6$ ได้ก็ต่อเมื่ออัตราเฉลี่ยเดิมยังสมเหตุสมผลตลอดสองชั่วโมงนั้น

นี่เป็นจุดที่ผิดพลาดได้ง่ายมากอย่างหนึ่ง เมื่อช่วงเปลี่ยนไป ค่า $\lambda$ ก็มักจะเปลี่ยนตามไปด้วย

ตัวอย่างโจทย์: ได้รับสายพอดี 2 สายใน 1 ชั่วโมง

สมมติว่าร้านเล็ก ๆ แห่งหนึ่งได้รับสายจากลูกค้าเฉลี่ย $3$ สายต่อชั่วโมง ถ้าการมาของสายเป็นอิสระต่อกันพอสมควร และอัตราเฉลี่ยคงที่ ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสายพอดี $2$ สายในชั่วโมงถัดไปเป็นเท่าไร

ในที่นี้ $\lambda = 3$ และ $k = 2$ ดังนั้น

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

จัดรูปทีละขั้นได้ว่า

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

เมื่อใช้ $e^{-3} \approx 0.0498$

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

ดังนั้นความน่าจะเป็นประมาณ $0.224$ หรือ $22.4\%$ ในบริบทนี้ หมายความว่าการได้รับสายพอดี $2$ สายในชั่วโมงถัดไปเป็นผลลัพธ์ที่พบได้ค่อนข้างปกติ ไม่ใช่เรื่องที่เกิดขึ้นได้ยากมาก

เมื่อไรแบบจำลองปัวซองจึงเหมาะสม

ใช้แบบจำลองปัวซองเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้สมเหตุสมผลทั้งหมด:

• คุณกำลังนับจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น ไม่ได้วัดค่าต่อเนื่องอย่างเวลา หรือส่วนสูง
• การนับเกิดขึ้นในช่วงคงที่ เช่น หนึ่งชั่วโมง หรือหนึ่งหน้า
• อัตราเฉลี่ยค่อนข้างคงที่ตลอดช่วงนั้น
• เหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ทำให้อีกเหตุการณ์มีโอกาสเกิดมากขึ้นหรือน้อยลงอย่างชัดเจนโดยตรง

นี่จึงเป็นเหตุผลที่การแจกแจงปัวซองพบได้ในทฤษฎีคิว ความเชื่อถือได้ของระบบ การไหลของการจราจร โทรคมนาคม และการควบคุมคุณภาพ แบบจำลองนี้เหมาะที่สุดกับข้อมูลแบบนับที่มีอัตราคงที่ ไม่ใช่สถานการณ์ที่มีการกระจุกตัวสูงหรือมีผลของช่วงเวลาในวันอย่างชัดเจน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์ปัวซอง

ใช้ปัวซองกับข้อมูลที่ไม่ใช่ข้อมูลแบบนับ

การแจกแจงปัวซองใช้กับ $0, 1, 2, 3, \dots$ ไม่ได้ใช้จำลองค่าที่วัดได้แบบต่อเนื่อง เช่น ส่วนสูง เวลา หรืออุณหภูมิ

ลืมปรับสเกลของ $\lambda$

ถ้า $\lambda = 3$ ต่อชั่วโมง ก็ไม่ได้แปลว่า $\lambda = 3$ ต่อ $30$ นาที สำหรับครึ่งชั่วโมง พารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันจะเป็น $\lambda = 1.5$ ถ้าอัตราเฉลี่ยเดิมยังใช้ได้

คิดว่า "เหตุการณ์หายาก" คือกฎทั้งหมด

คำว่า "หายาก" ช่วยให้เห็นภาพได้ แต่ไม่ใช่กฎทั้งหมด คำถามที่แท้จริงคือ ช่วงคงที่ อัตราเฉลี่ยที่ค่อนข้างคงที่ และความเป็นอิสระโดยประมาณ สมเหตุสมผลหรือไม่

มองว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับความแปรปรวนเป็นกฎธรรมชาติ

สำหรับแบบจำลองปัวซอง ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากับ $\lambda$ ทั้งคู่ แต่ข้อมูลจริงไม่ได้เป็นระเบียบแบบนั้นเสมอไป ดังนั้นความเท่ากันนี้เป็นสมบัติของแบบจำลอง ไม่ใช่กฎธรรมชาติ

ปัวซองเทียบกับทวินาม

ใช้แบบจำลองปัวซองเมื่อคุณนับว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นกี่ครั้งในช่วงหนึ่ง และในโจทย์ไม่ได้กำหนดจำนวนครั้งทดลองตายตัวไว้

ใช้แบบจำลองทวินามเมื่อคุณมีจำนวนครั้งทดลองที่แน่นอนอยู่แล้ว และแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จเท่ากัน ตัวอย่างเช่น การนับหลอดไฟเสียในตัวอย่างหลอดไฟที่ทดสอบ $20$ หลอดเป็นแบบทวินาม เพราะจำนวนครั้งทดลองถูกกำหนดคงที่ที่ $20$

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์ของคุณเองโดยกำหนดว่ามีการส่งของเฉลี่ย $5$ ครั้งต่อวัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีการส่งของพอดี $4$ ครั้งในวันพรุ่งนี้ จากนั้นเปลี่ยนช่วงเป็นครึ่งวัน แล้วพิจารณาว่า $\lambda$ เปลี่ยนอย่างไรก่อนคำนวณ