Rozkład Poissona — wzór, wartość oczekiwana i przykłady

Rozkład Poissona podaje prawdopodobieństwo otrzymania $0, 1, 2, \dots$ zdarzeń w ustalonym przedziale, gdy zdarzenia zachodzą niezależnie, a średnie tempo pozostaje w przybliżeniu stałe. Jeśli znasz średnią liczbę telefonów, usterek lub przybyć w jednym przedziale, model Poissona pomaga wyznaczyć prawdopodobieństwo dokładnej liczby zdarzeń.

Kluczowy jest dobór modelu, a nie sama algebra. Jeśli założenie niezależności albo w przybliżeniu stałego tempa nie jest rozsądne, wzór Poissona może wyglądać poprawnie, a mimo to odpowiadać na niewłaściwe pytanie.

Wzór rozkładu Poissona

Jeśli $X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda > 0$, to dla każdej liczby całkowitej $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Tutaj $k$ oznacza dokładną liczbę zdarzeń, którą chcesz otrzymać, a $\lambda$ to oczekiwana liczba zdarzeń w wybranym przedziale.

W modelu Poissona wartość oczekiwana i wariancja są równe $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Nie oznacza to, że w każdym rzeczywistym zbiorze danych średnia i wariancja będą sobie równe. Oznacza to jedynie, że taki związek przewiduje model Poissona.

Co oznacza $\lambda$ w prostym języku

$\lambda$ to średnia liczba zdarzeń w jednym konkretnym przedziale. Tym przedziałem może być jedna godzina, jeden metr kwadratowy, jedna strona albo jeden kilometr, ale trzeba go jasno określić.

Jeśli sklep otrzymuje średnio $3$ telefony na godzinę, to dla przedziału jednej godziny mamy $\lambda = 3$. Dla przedziału dwóch godzin użyjesz $\lambda = 6$ tylko wtedy, gdy to samo średnie tempo nadal ma sens w ciągu tych dwóch godzin.

To jeden z najłatwiejszych sposobów popełnienia błędu. Gdy zmienia się przedział, zwykle zmienia się też $\lambda$.

Przykład: dokładnie 2 telefony w ciągu 1 godziny

Załóżmy, że mały sklep otrzymuje średnio $3$ telefony od klientów na godzinę. Jeśli momenty nadejścia telefonów są w przybliżeniu niezależne, a średnie tempo jest stabilne, to jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $2$ telefonów w następnej godzinie?

Tutaj $\lambda = 3$ oraz $k = 2$, więc:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Uprośćmy to krok po kroku:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Korzystając z przybliżenia $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Zatem prawdopodobieństwo wynosi około $0.224$, czyli $22.4\%$. W kontekście zadania oznacza to, że otrzymanie dokładnie $2$ telefonów w następnej godzinie jest dość typowym wynikiem, a nie rzadką niespodzianką.

Kiedy model Poissona ma sens

Użyj modelu Poissona, gdy wszystkie poniższe warunki są w przybliżeniu spełnione:

• Zliczasz liczbę wystąpień, a nie mierzysz wielkości ciągłej, takiej jak czas czy wzrost.
• Liczba jest zliczana w ustalonym przedziale, na przykład w ciągu jednej godziny albo na jednej stronie.
• Średnie tempo jest w przybliżeniu stałe w tym przedziale.
• Jedno zdarzenie nie sprawia bezpośrednio, że inne zdarzenie staje się dużo bardziej lub mniej prawdopodobne.

Dlatego rozkład Poissona pojawia się w teorii kolejek, niezawodności, przepływie ruchu, telekomunikacji i kontroli jakości. Najlepiej działa dla danych licznikowych ze stabilnym tempem, a nie w sytuacjach z silnym grupowaniem zdarzeń lub wyraźnym wpływem pory dnia.

Częste błędy w zadaniach z rozkładem Poissona

Używanie rozkładu Poissona do danych niebędących zliczeniami

Rozkład Poissona dotyczy wartości $0, 1, 2, 3, \dots$. Nie modeluje pomiarów ciągłych, takich jak wzrost, czas czy temperatura.

Zapominanie o przeskalowaniu $\lambda$

Jeśli $\lambda = 3$ na godzinę, to nie znaczy, że $\lambda = 3$ na $30$ minut. Dla pół godziny odpowiednim parametrem byłoby $\lambda = 1.5$, jeśli to samo średnie tempo nadal obowiązuje.

Myślenie, że „rzadkie zdarzenie” to pełna reguła

„Rzadkie” pomaga intuicyjnie, ale nie jest pełną regułą. Prawdziwe pytanie brzmi, czy rozsądne są: ustalony przedział, w przybliżeniu stałe średnie tempo i przybliżona niezależność.

Traktowanie równości średniej i wariancji jak prawa natury

W modelu Poissona wartość oczekiwana i wariancja są równe $\lambda$. Rzeczywiste dane nie zawsze zachowują się tak idealnie, więc ta równość jest własnością modelu, a nie prawem natury.

Poisson a rozkład dwumianowy

Użyj modelu Poissona, gdy liczysz, ile zdarzeń zachodzi w pewnym przedziale, i w opisie sytuacji nie ma z góry ustalonej liczby prób.

Użyj modelu dwumianowego, gdy masz już ustaloną liczbę prób, a każda z nich ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu. Na przykład liczenie wadliwych żarówek w próbie $20$ testowanych żarówek jest zadaniem z rozkładu dwumianowego, ponieważ liczba prób jest ustalona i wynosi $20$.

Spróbuj podobnego zadania

Ułóż własną wersję z średnią liczbą $5$ dostaw dziennie. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $4$ dostaw jutro, a potem zmień przedział na pół dnia i zdecyduj, co dzieje się z $\lambda$, zanim zaczniesz liczyć.