Distribusi Poisson — Rumus, Mean, dan Contoh

Distribusi Poisson memberikan peluang untuk mendapatkan $0, 1, 2, \dots$ kejadian dalam suatu interval tetap ketika kejadian terjadi secara independen dan laju rata-ratanya kurang lebih konstan. Jika Anda mengetahui rata-rata jumlah panggilan, cacat, atau kedatangan dalam satu interval, model Poisson membantu Anda mencari peluang untuk jumlah yang tepat.

Syarat utamanya adalah pemilihan model, bukan aljabarnya. Jika independensi atau laju yang kurang lebih konstan tidak masuk akal, rumus Poisson bisa tampak benar tetapi tetap menjawab pertanyaan yang salah.

Rumus distribusi Poisson

Jika $X$ mengikuti distribusi Poisson dengan parameter $\lambda > 0$, maka untuk setiap bilangan bulat $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Di sini, $k$ adalah jumlah kejadian tepat yang Anda inginkan, dan $\lambda$ adalah banyaknya kejadian yang diharapkan dalam interval yang Anda pilih.

Untuk model Poisson, mean dan varians keduanya sama dengan $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Itu tidak berarti setiap kumpulan data nyata memiliki mean dan varians yang sama. Artinya, model Poisson memprediksi hubungan tersebut.

Arti $\lambda$ dalam bahasa sederhana

$\lambda$ adalah jumlah rata-rata untuk satu interval tertentu. Interval itu bisa berupa satu jam, satu meter persegi, satu halaman, atau satu kilometer, tetapi Anda harus mendefinisikannya dengan jelas.

Jika sebuah toko menerima rata-rata $3$ panggilan per jam, maka $\lambda = 3$ untuk interval satu jam. Untuk interval dua jam, Anda akan menggunakan $\lambda = 6$ hanya jika laju rata-rata yang sama masih masuk akal selama dua jam tersebut.

Ini adalah salah satu cara termudah untuk membuat kesalahan. Ketika interval berubah, $\lambda$ biasanya juga berubah.

Contoh soal: tepat 2 panggilan dalam 1 jam

Misalkan sebuah toko kecil menerima rata-rata $3$ panggilan pelanggan per jam. Jika kedatangan panggilan cukup independen dan laju rata-ratanya stabil, berapa peluang mendapatkan tepat $2$ panggilan dalam satu jam berikutnya?

Di sini, $\lambda = 3$ dan $k = 2$, sehingga:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Sederhanakan langkah demi langkah:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Dengan menggunakan $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Jadi peluangnya sekitar $0.224$, atau $22.4\%$. Dalam konteks ini, itu berarti mendapatkan tepat $2$ panggilan dalam satu jam berikutnya adalah hasil yang cukup biasa, bukan kejutan yang langka.

Kapan model Poisson masuk akal

Gunakan model Poisson ketika semua hal berikut cukup terpenuhi:

• Anda menghitung banyaknya kejadian, bukan mengukur nilai kontinu seperti waktu atau tinggi.
• Perhitungan dilakukan pada interval tetap seperti satu jam atau satu halaman.
• Laju rata-rata kurang lebih konstan pada interval tersebut.
• Satu kejadian tidak secara langsung membuat kejadian lain jauh lebih atau kurang mungkin terjadi.

Inilah sebabnya distribusi Poisson muncul dalam teori antrean, keandalan, arus lalu lintas, telekomunikasi, dan pengendalian kualitas. Model ini paling cocok untuk data hitung dengan laju yang stabil, bukan untuk situasi dengan pengelompokan kuat atau pengaruh waktu tertentu dalam sehari yang tajam.

Kesalahan umum dalam soal Poisson

Menggunakan Poisson untuk data non-hitungan

Distribusi Poisson digunakan untuk $0, 1, 2, 3, \dots$. Distribusi ini tidak memodelkan pengukuran kontinu seperti tinggi, waktu, atau suhu.

Lupa menyesuaikan skala $\lambda$

Jika $\lambda = 3$ per jam, itu tidak berarti $\lambda = 3$ per $30$ menit. Untuk setengah jam, parameter yang sesuai adalah $\lambda = 1.5$ jika laju rata-rata yang sama tetap berlaku.

Mengira "kejadian langka" adalah aturan lengkap

"Kejadian langka" membantu intuisi, tetapi itu bukan aturan lengkapnya. Pertanyaan sebenarnya adalah apakah interval tetap, laju rata-rata yang kurang lebih konstan, dan independensi perkiraan masuk akal.

Menganggap mean sama dengan varians sebagai hukum alam

Untuk model Poisson, mean dan varians keduanya adalah $\lambda$. Data nyata tidak selalu berperilaku serapi itu, jadi kesamaan tersebut adalah sifat model, bukan hukum alam.

Poisson vs. binomial

Gunakan model Poisson ketika Anda menghitung berapa banyak kejadian yang terjadi dalam suatu interval dan tidak ada jumlah percobaan tetap yang menjadi bagian dari situasi tersebut.

Gunakan model binomial ketika Anda sudah memiliki jumlah percobaan tetap, masing-masing dengan peluang sukses yang sama. Misalnya, menghitung lampu cacat dalam sampel $20$ lampu yang diuji adalah binomial karena jumlah percobaannya tetap, yaitu $20$.

Coba soal serupa

Cobalah versi Anda sendiri dengan rata-rata $5$ pengiriman per hari. Carilah peluang mendapatkan tepat $4$ pengiriman besok, lalu ubah intervalnya menjadi setengah hari dan tentukan apa yang terjadi pada $\lambda$ sebelum Anda menghitung.