Poisson-Verteilung — Formel, Erwartungswert & Beispiele

Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einem festen Intervall $0, 1, 2, \dots$ Ereignisse zu erhalten, wenn die Ereignisse unabhängig auftreten und die durchschnittliche Rate ungefähr konstant bleibt. Wenn du die durchschnittliche Anzahl von Anrufen, Fehlern oder Ankünften in einem Intervall kennst, hilft dir das Poisson-Modell dabei, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl zu bestimmen.

Die wichtigste Bedingung ist die Wahl des Modells, nicht die Algebra. Wenn Unabhängigkeit oder eine ungefähr konstante Rate nicht plausibel sind, kann die Poisson-Formel korrekt aussehen und trotzdem die falsche Frage beantworten.

Formel der Poisson-Verteilung

Wenn $X$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\lambda > 0$ folgt, dann gilt für jede ganze Zahl $k \ge 0$:

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Hier ist $k$ die genaue Anzahl von Ereignissen, die du suchst, und $\lambda$ ist die erwartete Anzahl von Ereignissen im gewählten Intervall.

Für ein Poisson-Modell sind Erwartungswert und Varianz beide gleich $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Das bedeutet nicht, dass bei jedem realen Datensatz Erwartungswert und Varianz übereinstimmen. Es bedeutet, dass das Poisson-Modell diese Beziehung vorhersagt.

Was $\lambda$ einfach gesagt bedeutet

$\lambda$ ist die durchschnittliche Anzahl für ein bestimmtes Intervall. Das Intervall kann eine Stunde, ein Quadratmeter, eine Seite oder ein Kilometer sein, aber du musst es klar festlegen.

Wenn ein Geschäft im Durchschnitt $3$ Anrufe pro Stunde erhält, dann ist $\lambda = 3$ für ein Intervall von einer Stunde. Für ein Intervall von zwei Stunden würdest du nur dann $\lambda = 6$ verwenden, wenn dieselbe durchschnittliche Rate über diese zwei Stunden hinweg noch sinnvoll ist.

Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen. Wenn sich das Intervall ändert, ändert sich normalerweise auch $\lambda$.

Durchgerechnetes Beispiel: genau 2 Anrufe in 1 Stunde

Angenommen, ein kleines Geschäft erhält im Durchschnitt $3$ Kundenanrufe pro Stunde. Wenn die Anrufe hinreichend unabhängig eintreffen und die durchschnittliche Rate stabil ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Stunde genau $2$ Anrufe zu erhalten?

Hier ist $\lambda = 3$ und $k = 2$, also:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Vereinfache Schritt für Schritt:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Mit $e^{-3} \approx 0.0498$ gilt:

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa $0.224$ oder $22.4\%$. Im Kontext bedeutet das: Genau $2$ Anrufe in der nächsten Stunde zu erhalten, ist ein ganz normales Ergebnis und keine seltene Überraschung.

Wann ein Poisson-Modell sinnvoll ist

Verwende ein Poisson-Modell, wenn all diese Aussagen ungefähr zutreffen:

• Du zählst Vorkommen und misst keine stetige Größe wie Zeit oder Höhe.
• Die Anzahl wird über ein festes Intervall erfasst, zum Beispiel eine Stunde oder eine Seite.
• Die durchschnittliche Rate ist über dieses Intervall ungefähr konstant.
• Ein Ereignis macht ein anderes Ereignis nicht direkt deutlich wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher.

Deshalb taucht die Poisson-Verteilung in Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeit, Verkehrsfluss, Telekommunikation und Qualitätskontrolle auf. Sie funktioniert am besten für Zähldaten mit stabiler Rate, nicht für Situationen mit starker Clusterbildung oder ausgeprägten Tageszeiteffekten.

Häufige Fehler bei Poisson-Aufgaben

Poisson für keine Zähldaten verwenden

Die Poisson-Verteilung ist für $0, 1, 2, 3, \dots$ gedacht. Sie modelliert keine stetigen Messgrößen wie Körpergröße, Zeit oder Temperatur.

Vergessen, $\lambda$ umzurechnen

Wenn $\lambda = 3$ pro Stunde ist, bedeutet das nicht, dass $\lambda = 3$ pro $30$ Minuten ist. Für eine halbe Stunde wäre der passende Parameter $\lambda = 1.5$, wenn dieselbe durchschnittliche Rate gilt.

Denken, „seltenes Ereignis“ sei die ganze Regel

„Selten“ hilft für die Intuition, ist aber nicht die ganze Regel. Die eigentliche Frage ist, ob ein festes Intervall, eine ungefähr konstante durchschnittliche Rate und angenäherte Unabhängigkeit plausibel sind.

Erwartungswert gleich Varianz als Naturgesetz behandeln

Für ein Poisson-Modell sind Erwartungswert und Varianz beide $\lambda$. Reale Daten verhalten sich nicht immer so sauber, daher ist diese Gleichheit eine Eigenschaft des Modells und kein Naturgesetz.

Poisson vs. Binomialverteilung

Verwende ein Poisson-Modell, wenn du zählst, wie viele Ereignisse in einem Intervall auftreten, und in der Situation keine feste Anzahl von Versuchen vorgegeben ist.

Verwende ein Binomialmodell, wenn du bereits eine feste Anzahl von Versuchen hast und jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit besitzt. Zum Beispiel ist das Zählen defekter Glühbirnen in einer Stichprobe von $20$ getesteten Glühbirnen binomialverteilt, weil die Anzahl der Versuche fest auf $20$ gesetzt ist.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit durchschnittlich $5$ Lieferungen pro Tag. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, morgen genau $4$ Lieferungen zu erhalten, und ändere dann das Intervall auf einen halben Tag. Überlege zuerst, was mit $\lambda$ passiert, bevor du rechnest.