Distribuzione di Poisson — Formula, media ed esempi

La distribuzione di Poisson fornisce la probabilità di ottenere $0, 1, 2, \dots$ eventi in un intervallo fissato quando gli eventi avvengono in modo indipendente e il tasso medio resta circa costante. Se conosci il numero medio di chiamate, difetti o arrivi in un intervallo, il modello di Poisson ti aiuta a trovare la probabilità di un conteggio esatto.

La condizione fondamentale è la scelta del modello, non l'algebra. Se l'indipendenza o un tasso circa costante non sono ipotesi ragionevoli, la formula di Poisson può sembrare corretta e comunque rispondere alla domanda sbagliata.

Formula della distribuzione di Poisson

Se $X$ segue una distribuzione di Poisson con parametro $\lambda > 0$, allora per ogni numero intero $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Qui, $k$ è il numero esatto di eventi che vuoi ottenere, e $\lambda$ è il numero atteso di eventi nell'intervallo che hai scelto.

Per un modello di Poisson, media e varianza sono entrambe uguali a $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Questo non significa che ogni insieme di dati reali abbia media e varianza uguali. Significa che il modello di Poisson prevede questa relazione.

Cosa significa $\lambda$ in parole semplici

$\lambda$ è il conteggio medio per uno specifico intervallo. L'intervallo può essere un'ora, un metro quadrato, una pagina o un chilometro, ma devi definirlo con chiarezza.

Se un negozio riceve in media $3$ chiamate all'ora, allora $\lambda = 3$ per un intervallo di un'ora. Per un intervallo di due ore, useresti $\lambda = 6$ solo se lo stesso tasso medio ha ancora senso su quelle due ore.

Questo è uno dei modi più semplici per sbagliare. Quando l'intervallo cambia, di solito cambia anche $\lambda$.

Esempio svolto: esattamente 2 chiamate in 1 ora

Supponiamo che un piccolo negozio riceva in media $3$ chiamate di clienti all'ora. Se gli arrivi delle chiamate sono ragionevolmente indipendenti e il tasso medio è stabile, qual è la probabilità di ricevere esattamente $2$ chiamate nella prossima ora?

Qui, $\lambda = 3$ e $k = 2$, quindi:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Semplifichiamo passo per passo:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Usando $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Quindi la probabilità è circa $0.224$, cioè $22.4\%$. Nel contesto, questo significa che ricevere esattamente $2$ chiamate nella prossima ora è un risultato abbastanza normale, non un evento raro o sorprendente.

Quando un modello di Poisson ha senso

Usa un modello di Poisson quando tutte queste condizioni sono ragionevolmente vere:

• Stai contando occorrenze, non misurando una grandezza continua come il tempo o l'altezza.
• Il conteggio viene effettuato su un intervallo fisso, come un'ora o una pagina.
• Il tasso medio è circa costante su quell'intervallo.
• Un evento non rende direttamente un altro evento molto più o molto meno probabile.

Per questo la distribuzione di Poisson compare nelle code, nell'affidabilità, nel flusso del traffico, nelle telecomunicazioni e nel controllo qualità. Funziona meglio per dati di conteggio con un tasso stabile, non per situazioni con forte raggruppamento o marcati effetti legati all'ora del giorno.

Errori comuni nei problemi sulla Poisson

Usare Poisson per dati che non sono conteggi

La distribuzione di Poisson è per $0, 1, 2, 3, \dots$. Non modella misure continue come altezza, tempo o temperatura.

Dimenticare di riscalare $\lambda$

Se $\lambda = 3$ all'ora, questo non significa che $\lambda = 3$ ogni $30$ minuti. Per mezz'ora, il parametro corrispondente sarebbe $\lambda = 1.5$ se vale lo stesso tasso medio.

Pensare che "evento raro" sia la regola completa

"Raro" aiuta l'intuizione, ma non è la regola completa. La vera domanda è se siano ragionevoli un intervallo fisso, un tasso medio circa costante e un'indipendenza approssimata.

Trattare media uguale a varianza come una legge di natura

Per un modello di Poisson, media e varianza sono entrambe $\lambda$. I dati reali non si comportano sempre in modo così pulito, quindi questa uguaglianza è una proprietà del modello, non una legge di natura.

Poisson vs. binomiale

Usa un modello di Poisson quando conti quanti eventi avvengono in un intervallo e nella situazione non è incorporato un numero fisso di prove.

Usa un modello binomiale quando hai già un numero fisso di prove, ciascuna con la stessa probabilità di successo. Per esempio, contare le lampadine difettose in un campione di $20$ lampadine testate è un caso binomiale perché il numero di prove è fissato a $20$.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con una media di $5$ consegne al giorno. Trova la probabilità di ottenere esattamente $4$ consegne domani, poi cambia l'intervallo a mezza giornata e decidi cosa succede a $\lambda$ prima di calcolare.