Distribuição de Poisson — Fórmula, Média e Exemplos

A distribuição de Poisson dá a probabilidade de obter $0, 1, 2, \dots$ eventos em um intervalo fixo quando os eventos acontecem de forma independente e a taxa média permanece aproximadamente constante. Se você conhece o número médio de chamadas, defeitos ou chegadas em um intervalo, o modelo de Poisson ajuda a encontrar a chance de uma contagem exata.

A condição principal é a escolha do modelo, não a álgebra. Se a independência ou uma taxa aproximadamente constante não forem razoáveis, a fórmula de Poisson pode parecer correta e ainda assim responder à pergunta errada.

Fórmula da distribuição de Poisson

Se $X$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda > 0$, então para qualquer número inteiro $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Aqui, $k$ é o número exato de eventos que você quer, e $\lambda$ é o número esperado de eventos no intervalo que você escolheu.

Para um modelo de Poisson, a média e a variância são ambas iguais a $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Isso não significa que todo conjunto de dados real tenha média e variância iguais. Significa que o modelo de Poisson prevê essa relação.

O que $\lambda$ significa em linguagem simples

$\lambda$ é a contagem média para um intervalo específico. O intervalo pode ser uma hora, um metro quadrado, uma página ou um quilômetro, mas você precisa defini-lo com clareza.

Se uma loja recebe em média $3$ chamadas por hora, então $\lambda = 3$ para um intervalo de uma hora. Para um intervalo de duas horas, você usaria $\lambda = 6$ somente se a mesma taxa média ainda fizer sentido ao longo dessas duas horas.

Essa é uma das formas mais fáceis de cometer erro. Quando o intervalo muda, $\lambda$ geralmente também muda.

Exemplo resolvido: exatamente 2 chamadas em 1 hora

Suponha que uma pequena loja receba em média $3$ chamadas de clientes por hora. Se as chegadas das chamadas forem razoavelmente independentes e a taxa média for estável, qual é a probabilidade de receber exatamente $2$ chamadas na próxima hora?

Aqui, $\lambda = 3$ e $k = 2$, então:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Simplificando passo a passo:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Usando $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Portanto, a probabilidade é cerca de $0.224$, ou $22.4\%$. No contexto, isso significa que receber exatamente $2$ chamadas na próxima hora é um resultado bastante comum, não uma surpresa rara.

Quando um modelo de Poisson faz sentido

Use um modelo de Poisson quando tudo isso for razoavelmente verdadeiro:

• Você está contando ocorrências, não medindo um valor contínuo como tempo ou altura.
• A contagem é feita em um intervalo fixo, como uma hora ou uma página.
• A taxa média é aproximadamente constante nesse intervalo.
• Um evento não torna diretamente outro evento muito mais ou muito menos provável.

É por isso que a distribuição de Poisson aparece em teoria das filas, confiabilidade, fluxo de tráfego, telecomunicações e controle de qualidade. Ela funciona melhor para dados de contagem com taxa estável, não para situações com forte agrupamento ou efeitos acentuados de horário do dia.

Erros comuns em problemas de Poisson

Usar Poisson para dados que não são de contagem

A distribuição de Poisson é para $0, 1, 2, 3, \dots$. Ela não modela medidas contínuas como altura, tempo ou temperatura.

Esquecer de reajustar $\lambda$

Se $\lambda = 3$ por hora, isso não significa que $\lambda = 3$ por $30$ minutos. Para meia hora, o parâmetro correspondente seria $\lambda = 1.5$ se a mesma taxa média se mantiver.

Pensar que "evento raro" é a regra completa

"Raro" ajuda na intuição, mas não é a regra completa. A verdadeira questão é se um intervalo fixo, uma taxa média aproximadamente constante e independência aproximada são hipóteses razoáveis.

Tratar média igual à variância como uma lei da natureza

Para um modelo de Poisson, a média e a variância são ambas $\lambda$. Dados reais nem sempre se comportam de forma tão limpa, então essa igualdade é uma propriedade do modelo, não uma lei da natureza.

Poisson vs. binomial

Use um modelo de Poisson quando você conta quantos eventos acontecem em um intervalo e não há um número fixo de tentativas embutido na situação.

Use um modelo binomial quando você já tem um número fixo de tentativas, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. Por exemplo, contar lâmpadas defeituosas em uma amostra de $20$ lâmpadas testadas é binomial porque o número de tentativas é fixo em $20$.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com uma média de $5$ entregas por dia. Encontre a probabilidade de obter exatamente $4$ entregas amanhã e depois mude o intervalo para meio dia para decidir o que acontece com $\lambda$ antes de calcular.