Poisson Dağılımı — Formül, Ortalama ve Örnekler

Poisson dağılımı, olaylar bağımsız gerçekleştiğinde ve ortalama hız yaklaşık sabit kaldığında, sabit bir aralıkta $0, 1, 2, \dots$ olay görülme olasılığını verir. Bir aralıktaki ortalama çağrı, hata ya da varış sayısını biliyorsanız, Poisson modeli tam olarak belirli bir sayının gerçekleşme olasılığını bulmanıza yardımcı olur.

Buradaki temel nokta cebir değil, doğru modeli seçmektir. Bağımsızlık ya da yaklaşık sabit hız varsayımı makul değilse, Poisson formülü doğru görünebilir ama yine de yanlış soruyu cevaplayabilir.

Poisson dağılımı formülü

Eğer $X$, parametresi $\lambda > 0$ olan bir Poisson dağılımına uyuyorsa, her $k \ge 0$ tam sayısı için

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Burada $k$, istediğiniz tam olay sayısıdır; $\lambda$ ise seçtiğiniz aralıktaki beklenen olay sayısıdır.

Bir Poisson modelinde ortalama ve varyansın ikisi de $\lambda$'ya eşittir:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Bu, her gerçek veri kümesinde ortalama ile varyansın eşit olacağı anlamına gelmez. Bu, Poisson modelinin öngördüğü ilişkidir.

$\lambda$ günlük dilde ne anlama gelir?

$\lambda$, belirli bir aralık için ortalama sayımdır. Bu aralık bir saat, bir metrekare, bir sayfa ya da bir kilometre olabilir; ancak bunu açıkça tanımlamanız gerekir.

Bir mağaza saatte ortalama $3$ çağrı alıyorsa, bir saatlik aralık için $\lambda = 3$ olur. İki saatlik bir aralık için, yalnızca aynı ortalama hız bu iki saat boyunca da anlamlıysa $\lambda = 6$ kullanırsınız.

Hata yapmanın en kolay yollarından biri budur. Aralık değiştiğinde, $\lambda$ da genellikle değişir.

Çözümlü örnek: 1 saatte tam 2 çağrı

Küçük bir mağazanın saatte ortalama $3$ müşteri çağrısı aldığını varsayalım. Çağrıların gelişleri makul ölçüde bağımsızsa ve ortalama hız sabitse, önümüzdeki bir saatte tam olarak $2$ çağrı gelme olasılığı nedir?

Burada $\lambda = 3$ ve $k = 2$ olduğundan:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Adım adım sadeleştirelim:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

$e^{-3} \approx 0.0498$ kullanırsak,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Dolayısıyla olasılık yaklaşık $0.224$, yani $22.4\%$'tür. Bağlam içinde bu, önümüzdeki bir saatte tam $2$ çağrı almanın nadir bir sürpriz değil, oldukça olağan bir sonuç olduğu anlamına gelir.

Poisson modeli ne zaman uygundur?

Aşağıdakilerin hepsi makul ölçüde doğruysa Poisson modeli kullanın:

• Zaman ya da boy gibi sürekli bir değeri ölçmüyor, gerçekleşme sayısını sayıyorsunuz.
• Sayım, bir saat ya da bir sayfa gibi sabit bir aralık üzerinde yapılıyor.
• Ortalama hız bu aralık boyunca yaklaşık sabit kalıyor.
• Bir olay, başka bir olayın olasılığını doğrudan çok daha fazla ya da çok daha az yapmıyor.

Bu yüzden Poisson dağılımı kuyruk teorisi, güvenilirlik, trafik akışı, telekomünikasyon ve kalite kontrolde karşımıza çıkar. En iyi, hızı sabit olan sayım verilerinde çalışır; güçlü kümelenme ya da günün saatine bağlı keskin etkiler olan durumlarda değil.

Poisson problemlerinde yaygın hatalar

Sayım verisi olmayan durumlarda Poisson kullanmak

Poisson dağılımı $0, 1, 2, 3, \dots$ içindir. Boy, zaman ya da sıcaklık gibi sürekli ölçümleri modellemez.

$\lambda$ değerini yeniden ölçeklemeyi unutmak

Eğer saatte $\lambda = 3$ ise, bu her $30$ dakika için de $\lambda = 3$ demek değildir. Yarım saat için, aynı ortalama hız geçerliyse uygun parametre $\lambda = 1.5$ olur.

"Nadir olay" ifadesinin tüm kural olduğunu sanmak

"Nadir" sezgiye yardımcı olur, ama kuralın tamamı değildir. Asıl soru; sabit bir aralık, yaklaşık sabit bir ortalama hız ve yaklaşık bağımsızlığın makul olup olmadığıdır.

Ortalama eşittir varyans ifadesini doğa yasası sanmak

Bir Poisson modelinde ortalama ve varyansın ikisi de $\lambda$'dır. Gerçek veriler her zaman bu kadar düzenli davranmaz; dolayısıyla bu eşitlik bir doğa yasası değil, modelin bir özelliğidir.

Poisson ve binom dağılımı karşılaştırması

Bir aralıkta kaç olay gerçekleştiğini sayıyorsanız ve kurulumda sabit bir deneme sayısı yoksa Poisson modeli kullanın.

Deneme sayısı baştan sabitse ve her denemenin başarı olasılığı aynıysa binom modeli kullanın. Örneğin, test edilen $20$ ampullük bir örnekte kusurlu ampul sayısını saymak binom dağılımına uyar; çünkü deneme sayısı sabit olarak $20$'dir.

Benzer bir soru deneyin

Günde ortalama $5$ teslimat yapılan kendi örneğinizi deneyin. Yarın tam olarak $4$ teslimat gelme olasılığını bulun, sonra aralığı yarım güne çevirin ve hesaplamadan önce $\lambda$'ya ne olduğunu belirleyin.