Distribución de Poisson — fórmula, media y ejemplos

La distribución de Poisson da la probabilidad de obtener $0, 1, 2, \dots$ eventos en un intervalo fijo cuando los eventos ocurren de forma independiente y la tasa media se mantiene aproximadamente constante. Si conoces el número promedio de llamadas, defectos o llegadas en un intervalo, el modelo de Poisson te ayuda a encontrar la probabilidad de un número exacto.

La condición clave es elegir bien el modelo, no el álgebra. Si la independencia o una tasa aproximadamente constante no son supuestos razonables, la fórmula de Poisson puede parecer correcta y aun así responder a la pregunta equivocada.

Fórmula de la distribución de Poisson

Si $X$ sigue una distribución de Poisson con parámetro $\lambda > 0$, entonces para cualquier número entero $k \ge 0$,

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Aquí, $k$ es el número exacto de eventos que quieres, y $\lambda$ es el número esperado de eventos en el intervalo que elegiste.

En un modelo de Poisson, la media y la varianza son ambas iguales a $\lambda$:

$$\text{mean} = \text{variance} = \lambda$$

Eso no significa que todos los conjuntos de datos reales tengan la misma media y varianza. Significa que el modelo de Poisson predice esa relación.

Qué significa $\lambda$ en lenguaje sencillo

$\lambda$ es el recuento promedio para un intervalo específico. El intervalo puede ser una hora, un metro cuadrado, una página o un kilómetro, pero debes definirlo con claridad.

Si una tienda recibe un promedio de $3$ llamadas por hora, entonces $\lambda = 3$ para un intervalo de una hora. Para un intervalo de dos horas, usarías $\lambda = 6$ solo si la misma tasa media sigue teniendo sentido durante esas dos horas.

Esta es una de las formas más fáciles de cometer un error. Cuando cambia el intervalo, normalmente $\lambda$ también cambia.

Ejemplo resuelto: exactamente 2 llamadas en 1 hora

Supón que una pequeña tienda recibe un promedio de $3$ llamadas de clientes por hora. Si las llegadas de llamadas son razonablemente independientes y la tasa media es estable, ¿cuál es la probabilidad de recibir exactamente $2$ llamadas en la próxima hora?

Aquí, $\lambda = 3$ y $k = 2$, así que:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3}3^2}{2!}$$

Simplificamos paso a paso:

$$P(X = 2) = \frac{9e^{-3}}{2}$$

Usando $e^{-3} \approx 0.0498$,

$$P(X = 2) \approx \frac{9(0.0498)}{2} \approx 0.224$$

Así que la probabilidad es aproximadamente $0.224$, o $22.4\%$. En contexto, eso significa que recibir exactamente $2$ llamadas en la próxima hora es un resultado bastante normal, no algo raro o sorprendente.

Cuándo tiene sentido un modelo de Poisson

Usa un modelo de Poisson cuando todo esto sea razonablemente cierto:

• Estás contando ocurrencias, no midiendo una variable continua como el tiempo o la altura.
• El recuento se hace sobre un intervalo fijo, como una hora o una página.
• La tasa media es aproximadamente constante en ese intervalo.
• Un evento no hace directamente que otro evento sea mucho más o mucho menos probable.

Por eso la distribución de Poisson aparece en teoría de colas, fiabilidad, flujo de tráfico, telecomunicaciones y control de calidad. Funciona mejor para datos de conteo con una tasa estable, no para situaciones con agrupamientos fuertes o efectos marcados según la hora del día.

Errores comunes en problemas de Poisson

Usar Poisson para datos que no son de conteo

La distribución de Poisson es para $0, 1, 2, 3, \dots$. No modela mediciones continuas como la altura, el tiempo o la temperatura.

Olvidar reescalar $\lambda$

Si $\lambda = 3$ por hora, eso no significa que $\lambda = 3$ por cada $30$ minutos. Para media hora, el parámetro correspondiente sería $\lambda = 1.5$ si se mantiene la misma tasa media.

Pensar que “evento raro” es toda la regla

“Raro” ayuda a la intuición, pero no es toda la regla. La verdadera pregunta es si un intervalo fijo, una tasa media aproximadamente constante y una independencia aproximada son supuestos razonables.

Tratar media igual a varianza como una ley de la naturaleza

En un modelo de Poisson, la media y la varianza son ambas $\lambda$. Los datos reales no siempre se comportan de forma tan limpia, así que esa igualdad es una propiedad del modelo, no una ley de la naturaleza.

Poisson vs. binomial

Usa un modelo de Poisson cuando cuentas cuántos eventos ocurren en un intervalo y no hay un número fijo de ensayos incorporado en la situación.

Usa un modelo binomial cuando ya tienes un número fijo de ensayos, cada uno con la misma probabilidad de éxito. Por ejemplo, contar bombillas defectuosas en una muestra de $20$ bombillas probadas es binomial porque el número de ensayos está fijado en $20$.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión con un promedio de $5$ entregas por día. Calcula la probabilidad de obtener exactamente $4$ entregas mañana y luego cambia el intervalo a medio día para decidir qué ocurre con $\lambda$ antes de calcular.