Substitution u en intégration

La substitution u est la méthode standard d’intégration pour des expressions comme $\int f(g(x))g'(x)\,dx$. On choisit l’expression intérieure comme $u$, on remplace la partie dérivée correspondante par $du$, puis on transforme l’intégrale en une forme plus simple.

On l’utilise lorsqu’une fonction est clairement imbriquée dans une autre et que la dérivée de l’expression intérieure est aussi présente, exactement ou à un facteur constant non nul près.

Ce que signifie la substitution u

Le schéma est :

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

Si l’on pose $u = g(x)$, alors $du = g'(x)\,dx$, donc l’intégrale devient

$$\int f(u)\,du$$

C’est toute l’idée. Une expression intérieure compliquée devient une seule variable, ce qui rend la primitive plus facile à reconnaître.

Comment repérer quand la substitution u fonctionne

La substitution u fonctionne le mieux lorsque l’intégrande a une structure composée claire. En termes simples, une fonction se trouve à l’intérieur d’une autre, et une certaine version de la dérivée intérieure est aussi présente.

Parmi les formes courantes, on trouve des puissances comme $(x^2+1)^5$, des racines comme $\sqrt{3x-2}$, des exponentielles comme $e^{x^2}$ et des expressions trigonométriques comme $\cos(x^3)$.

Si la dérivée de l’expression intérieure est complètement absente, la substitution peut ne pas aider. Si elle ne diffère que par un facteur constant non nul, on peut souvent corriger cela en faisant entrer ou sortir cette constante d’abord.

Exemple détaillé : $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$

Calculer

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

Le dénominateur contient l’expression intérieure $x^2+1$, et sa dérivée est $2x$. Le numérateur n’en représente que la moitié, ce qui suffit pour faire une substitution.

Posons

$$u = x^2 + 1$$

Alors

$$du = 2x\,dx$$

donc

$$x\,dx = \frac{1}{2}du$$

Réécrivons l’intégrale :

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$

On intègre maintenant :

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

On revient à la variable initiale :

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

Comme $x^2+1 > 0$ pour tout réel $x$, écrire $\ln(x^2+1)$ convient ici.

Pourquoi la substitution u a du sens

La dérivation par la règle de la chaîne dit qu’une fonction extérieure fait apparaître un facteur provenant de la dérivée intérieure. La substitution u reprend cette idée à l’envers. Elle regroupe l’expression intérieure sous un seul symbole et traite la partie dérivée comme le différentiel correspondant.

C’est pourquoi cette méthode n’est pas un simple repérage de motifs au hasard. C’est une manière structurée de remonter la règle de la chaîne.

Erreurs fréquentes avec la substitution u

1. Choisir $u$ sans vérifier si sa dérivée apparaît aussi. Si la dérivée correspondante n’est pas là, la substitution peut ne rien simplifier.
2. Oublier l’ajustement du facteur constant. Dans l’exemple ci-dessus, utiliser $du = 2x\,dx$ mais ignorer le $\frac{1}{2}$ donne une mauvaise réponse.
3. Mélanger les variables après la substitution. Une fois l’intégrale réécrite en fonction de $u$, elle doit rester entièrement en $u$ jusqu’au retour à la variable initiale.
4. Oublier le $+C$ dans une intégrale indéfinie.
5. Garder la variable $u$ dans une intégrale définie tout en utilisant encore les anciennes bornes en $x$. Si vous intégrez en $u$, les bornes doivent aussi être converties en valeurs de $u$.

Substitution u et intégrales définies

Pour une intégrale définie, on peut traiter la dernière étape de deux façons correctes.

Une possibilité est de revenir à $x$ puis d’utiliser les bornes d’origine. L’autre est de garder la réponse en $u$ et de changer immédiatement les bornes.

Par exemple, si

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$$

et que l’on pose $u=x^2$, alors les nouvelles bornes sont $u=0$ et $u=1$, donc

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$$

La condition importante est la cohérence : il ne faut pas mélanger $u$ avec des bornes en $x$.

Où la substitution u est utilisée

La substitution u est l’une des premières grandes techniques d’intégration en calcul différentiel et intégral, car beaucoup de primitives ne correspondent pas directement à une formule tant qu’on ne les a pas réécrites.

On la rencontre dans les cours de base de calcul, les équations différentielles, les probabilités, la physique et l’ingénierie, chaque fois qu’une grandeur est naturellement construite à partir d’une expression intérieure et de son taux de variation.

Essayez un exercice similaire de substitution u

Essayez

$$\int (3x^2)\,e^{x^3}\,dx$$

avant de chercher la solution. Si vous choisissez $u=x^3$, l’intégrale devrait se simplifier rapidement. Une fois terminé, vérifiez que votre réponse finale est bien revenue à $x$ et que vous avez correctement géré le facteur constant.