Théorème de la divergence — énoncé, preuve et applications

Le théorème de la divergence dit que le flux sortant total à travers une surface fermée est égal à la divergence totale à l’intérieur du solide qu’elle enferme. Si vous hésitez entre calculer une intégrale de surface difficile ou une intégrale de volume plus simple, ce théorème est souvent le raccourci qu’il vous faut.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Ici, $V$ est un domaine solide, $\partial V$ est sa frontière fermée, et $\mathbf{n}$ est la normale unitaire sortante. Le champ $\mathbf{F}$ doit admettre des dérivées partielles premières continues sur une région contenant $V$. Sans ces conditions, le théorème peut ne plus être valable ou demander un énoncé plus précis.

Énoncé du théorème de la divergence en langage simple

Le membre de gauche mesure la quantité de champ de vecteurs $\mathbf{F}$ qui sort à travers la surface frontière. Le membre de droite additionne la divergence en tout point à l’intérieur du volume.

La divergence est une mesure locale de la façon dont le champ se comporte comme une source ou un puits près d’un point. Le théorème dit donc ceci : si le champ se disperse à l’intérieur du domaine, cette dispersion apparaît comme un flux net sortant à travers la frontière.

C’est pour cela que le théorème est utile en physique et en calcul vectoriel. Il transforme une question sur la frontière en une question sur l’intérieur.

Quand peut-on utiliser le théorème de la divergence ?

Utilisez le théorème de la divergence lorsque toutes les conditions suivantes sont vérifiées :

1. La surface est fermée.
2. L’orientation est sortante.
3. Le champ de vecteurs admet des dérivées partielles premières continues sur le domaine et sa frontière.

Si la surface est ouverte, le théorème ne s’applique pas directement. Si la normale pointe vers l’intérieur, la réponse prend un signe moins.

Pourquoi le théorème de la divergence est vrai : idée de preuve

Une preuve complète demande du travail, mais l’idée centrale est courte et mérite d’être connue.

Imaginez que l’on découpe le domaine solide en beaucoup de petites boîtes. Pour chaque petite boîte, le flux sortant net est approximativement égal à la divergence dans cette boîte multipliée par son volume :

$$\text{flux net d’une petite boîte} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Additionnez maintenant les flux sur toutes les petites boîtes. Chaque face intérieure est partagée par deux boîtes, donc le flux qui sort de l’une est le flux qui entre dans la boîte voisine. Ces contributions intérieures s’annulent, et il ne reste que le flux à travers la frontière extérieure.

En même temps, la somme de $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ sur toutes les boîtes devient une intégrale triple. Quand les boîtes deviennent de plus en plus petites, l’approximation devient exacte, ce qui donne le théorème de la divergence.

Exemple résolu : flux à travers la sphère unité

Soit

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

et soit $V$ la boule unité $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Sa frontière $\partial V$ est la sphère unité, donc c’est une surface fermée et le théorème s’applique.

Calculons d’abord la divergence :

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Le problème de flux devient alors

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Comme $3$ est constant, c’est simplement $3$ fois le volume de la boule unité :

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Par conséquent, le flux sortant total à travers la sphère est

$$4\pi.$$

Cet exemple montre le principal avantage du théorème. Une intégrale de surface directe sur une sphère est possible, mais le côté volume est plus rapide parce que la divergence est constante.

Erreurs courantes avec le théorème de la divergence

Utiliser une surface ouverte

Le théorème de la divergence est fait pour les surfaces fermées. Un disque, une portion de sphère ou une surface courbe seule ne suffit pas.

Oublier la normale sortante

L’énoncé standard utilise l’orientation sortante. Si vous utilisez la normale entrante, la réponse change de signe.

Confondre la divergence avec le champ lui-même

Un champ de vecteurs de grande norme n’a pas automatiquement une grande divergence. La divergence dépend de la variation des composantes, pas seulement de leur taille.

Confondre le domaine et sa frontière

L’intégrale de surface porte sur $\partial V$, mais l’intégrale triple porte sur $V$. Ce sont des objets liés, mais ce ne sont pas les mêmes.

Traiter le théorème comme s’il n’avait aucune condition

Le théorème demande des hypothèses de régularité. Dans un cours d’introduction, cela signifie généralement une surface fermée et un champ de vecteurs ayant des dérivées partielles premières continues sur le domaine.

Où utilise-t-on le théorème de la divergence ?

En calcul vectoriel, le théorème est une méthode classique pour remplacer une intégrale de flux difficile par une intégrale de volume plus simple.

En mécanique des fluides, il relie le débit net sortant à travers une frontière fermée aux sources ou puits situés à l’intérieur du domaine.

En électromagnétisme, il apparaît dans des lois de type Gauss, où le flux à travers une surface fermée est lié à ce qu’elle renferme.

Plus généralement, il est utile chaque fois qu’un problème porte sur le flux sortant total à travers une surface fermée et que la divergence est plus facile à intégrer que le flux sur la frontière.

Essayez un problème similaire sur le théorème de la divergence

Prenez le même domaine $V$, mais remplacez le champ par

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Calculez $\nabla \cdot \mathbf{F}$, évaluez l’intégrale de volume sur la boule unité, puis utilisez-la pour obtenir le flux sortant total à travers la sphère. Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version avec une autre surface fermée et vérifiez d’abord si les conditions du théorème sont toujours satisfaites.