발산정리 — 정리, 증명, 활용

발산정리는 닫힌 곡면을 통과하는 전체 바깥쪽 플럭스가 그 곡면이 둘러싼 입체 내부의 전체 발산과 같다고 말합니다. 어려운 곡면적분을 할지, 더 쉬운 부피적분을 할지 고민할 때 이 정리는 자주 지름길이 됩니다.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

여기서 $V$는 입체 영역, $\partial V$는 그 닫힌 경계, $\mathbf{n}$은 바깥쪽 단위법선입니다. 벡터장 $\mathbf{F}$는 $V$를 포함하는 영역에서 연속인 1차 편도함수를 가져야 합니다. 이런 조건이 없으면 정리가 성립하지 않거나 더 신중한 서술이 필요할 수 있습니다.

쉬운 말로 보는 발산정리

왼쪽은 벡터장 $\mathbf{F}$가 경계 곡면을 통해 얼마나 바깥으로 흘러나가는지를 나타냅니다. 오른쪽은 부피 내부 전체에서 발산을 모두 더한 것입니다.

발산은 한 점 근처에서 벡터장이 얼마나 원천이나 싱크처럼 행동하는지를 나타내는 국소적 척도입니다. 그래서 이 정리는 이렇게 말합니다. 영역 내부에서 벡터장이 퍼져 나가면, 그 퍼짐은 경계를 가로지르는 순 바깥쪽 흐름으로 나타납니다.

이 때문에 이 정리는 물리학과 벡터해석에서 유용합니다. 경계에 대한 문제를 내부에 대한 문제로 바꿔 줍니다.

언제 발산정리를 사용할 수 있나요?

다음이 모두 참일 때 발산정리를 사용하세요.

1. 곡면이 닫혀 있다.
2. 방향이 바깥쪽이다.
3. 벡터장이 그 영역과 경계에서 연속인 1차 편도함수를 가진다.

곡면이 열려 있으면 이 정리를 직접 적용할 수 없습니다. 법선이 안쪽을 향하면 답에 마이너스 부호가 붙습니다.

왜 발산정리가 성립할까: 증명 아이디어

완전한 증명은 손이 좀 가지만, 핵심 아이디어는 짧고 알아둘 가치가 있습니다.

입체 영역을 아주 작은 상자들로 잘게 나눈다고 생각해 봅시다. 각 작은 상자에서 순 바깥쪽 플럭스는 대략 그 상자에서의 발산에 부피를 곱한 값입니다.

$$\text{작은 상자 하나의 순 플럭스} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

이제 모든 작은 상자에 대해 플럭스를 더합니다. 내부 면은 두 상자가 공유하므로, 한 상자에서 나가는 플럭스는 옆 상자로 들어가는 플럭스와 상쇄됩니다. 그래서 내부 기여는 사라지고 바깥 경계를 지나는 플럭스만 남습니다.

동시에 모든 상자에 대한 $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$의 합은 삼중적분이 됩니다. 상자 크기를 점점 줄이면 근사는 정확해지고, 이것이 바로 발산정리를 줍니다.

계산 예제: 단위구를 지나는 플럭스

다음을 두겠습니다.

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

그리고 $V$를 단위구 $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$라고 합시다. 그 경계 $\partial V$는 단위구면이므로 닫힌 곡면이고, 정리를 적용할 수 있습니다.

먼저 발산을 계산합니다.

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

그러면 플럭스 문제는 다음으로 바뀝니다.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

$3$은 상수이므로, 이는 단지 단위구의 부피에 $3$을 곱한 것입니다.

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

따라서 구를 통과하는 전체 바깥쪽 플럭스는

$$4\pi.$$

입니다.

이 예제는 정리의 가장 큰 장점을 보여 줍니다. 구에서 직접 곡면적분을 하는 것도 가능하지만, 발산이 상수이므로 부피적분 쪽이 더 빠릅니다.

발산정리에서 자주 하는 실수

열린 곡면에 사용하기

발산정리는 닫힌 곡면에 대한 정리입니다. 원판, 구면의 일부, 또는 휘어진 막 한 장만으로는 충분하지 않습니다.

바깥쪽 법선을 잊기

표준 서술은 바깥쪽 방향을 사용합니다. 안쪽 법선을 쓰면 답의 부호가 바뀝니다.

발산과 벡터장 자체를 혼동하기

벡터장의 크기가 크다고 해서 발산도 자동으로 큰 것은 아닙니다. 발산은 성분들이 어떻게 변하는지에 달려 있으며, 단순히 크기에만 달린 것이 아닙니다.

영역과 그 경계를 혼동하기

곡면적분은 $\partial V$ 위에서 하고, 삼중적분은 $V$ 위에서 합니다. 둘은 관련은 있지만 같은 대상은 아닙니다.

아무 조건 없이 정리를 쓰기

이 정리에는 정칙성 가정이 필요합니다. 입문 과정에서는 보통 닫힌 곡면과, 그 영역에서 연속인 1차 편도함수를 가지는 벡터장을 뜻합니다.

발산정리는 어디에 쓰이나요?

벡터해석에서 이 정리는 어려운 플럭스 적분을 더 쉬운 부피적분으로 바꾸는 표준적인 방법입니다.

유체 흐름에서는 닫힌 경계를 가로지르는 순유출량을 영역 내부의 원천이나 싱크와 연결해 줍니다.

전자기학에서는 가우스 법칙 같은 형태로 나타나며, 닫힌 곡면을 지나는 플럭스가 그 안에 포함된 것과 연결됩니다.

더 넓게 보면, 닫힌 곡면을 지나는 전체 바깥쪽 플럭스를 묻는 문제에서 경계 플럭스보다 발산이 더 적분하기 쉬울 때 유용합니다.

비슷한 발산정리 문제를 풀어 보세요

같은 영역 $V$를 쓰되 벡터장을 다음처럼 바꿔 보세요.

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

$\nabla \cdot \mathbf{F}$를 구하고, 단위구에서 부피적분을 계산한 뒤, 이를 이용해 구를 지나는 전체 바깥쪽 플럭스를 구해 보세요. 다음 단계로 가고 싶다면, 다른 닫힌 곡면을 직접 정해 보고 먼저 정리의 조건이 여전히 성립하는지 확인해 보세요.