Teorema della divergenza — enunciato, dimostrazione e applicazioni

Il teorema della divergenza afferma che il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è uguale alla divergenza totale all’interno del solido che essa racchiude. Se stai cercando di decidere se calcolare un difficile integrale di superficie oppure un più semplice integrale di volume, questo teorema è spesso la scorciatoia.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Qui $V$ è una regione solida, $\partial V$ è il suo bordo chiuso e $\mathbf{n}$ è la normale unitaria uscente. Il campo $\mathbf{F}$ deve avere derivate parziali prime continue su una regione che contiene $V$. Senza queste condizioni, il teorema può non valere oppure richiedere un enunciato più preciso.

Enunciato del teorema della divergenza in parole semplici

Il lato sinistro misura quanto il campo vettoriale $\mathbf{F}$ fluisce verso l’esterno attraverso la superficie di bordo. Il lato destro somma la divergenza in ogni punto all’interno del volume.

La divergenza è una misura locale di quanto il campo si comporta come una sorgente o un pozzo vicino a un punto. Quindi il teorema dice: se il campo si espande all’interno della regione, questa espansione appare come flusso netto uscente attraverso il bordo.

Per questo il teorema è utile in fisica e nel calcolo vettoriale. Trasforma una domanda sul bordo in una domanda sull’interno.

Quando puoi usare il teorema della divergenza

Usa il teorema della divergenza quando tutte queste condizioni sono vere:

1. La superficie è chiusa.
2. L’orientazione è verso l’esterno.
3. Il campo vettoriale ha derivate parziali prime continue sulla regione e sul suo bordo.

Se la superficie è aperta, il teorema non si applica direttamente. Se la normale punta verso l’interno, la risposta cambia di segno.

Perché il teorema della divergenza è vero: idea della dimostrazione

Una dimostrazione completa richiede lavoro, ma l’idea centrale è breve e vale la pena conoscerla.

Immagina di suddividere la regione solida in tante piccole scatole. Su ciascuna scatola, il flusso netto uscente è approssimativamente la divergenza in quella scatola moltiplicata per il suo volume:

$$\text{flusso netto da una piccola scatola} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Ora somma i flussi su tutte le piccole scatole. Ogni faccia interna è condivisa da due scatole, quindi il flusso che esce da una scatola è il flusso che entra nella scatola successiva. Questi contributi interni si cancellano, lasciando solo il flusso attraverso il bordo esterno.

Allo stesso tempo, la somma di $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ su tutte le scatole diventa un integrale triplo. Quando le scatole si rimpiccioliscono, l’approssimazione diventa esatta, e questo dà il teorema della divergenza.

Esempio svolto: flusso attraverso la sfera unitaria

Sia

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

e sia $V$ la palla unitaria $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Il suo bordo $\partial V$ è la sfera unitaria, quindi questa è una superficie chiusa e il teorema si applica.

Per prima cosa calcoliamo la divergenza:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Questo trasforma il problema del flusso in

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Poiché $3$ è costante, questo è semplicemente $3$ volte il volume della palla unitaria:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Quindi il flusso totale uscente attraverso la sfera è

$$4\pi.$$

Questo esempio mostra il principale vantaggio del teorema. Un integrale di superficie diretto su una sfera è possibile, ma il lato del volume è più veloce perché la divergenza è costante.

Errori comuni con il teorema della divergenza

Usare una superficie aperta

Il teorema della divergenza vale per superfici chiuse. Un disco, una porzione di sfera o un foglio curvo da soli non bastano.

Dimenticare la normale uscente

L’enunciato standard usa l’orientazione verso l’esterno. Se usi la normale entrante, la risposta cambia segno.

Confondere la divergenza con il campo stesso

Un campo vettoriale grande non ha automaticamente una grande divergenza. La divergenza dipende da come cambiano le componenti, non solo dalla loro grandezza.

Confondere la regione con il suo bordo

L’integrale di superficie vive su $\partial V$, ma l’integrale triplo vive su $V$. Sono oggetti collegati, ma non lo stesso oggetto.

Trattare il teorema come se non avesse condizioni

Il teorema richiede ipotesi di regolarità. In un corso introduttivo, questo di solito significa una superficie chiusa e un campo vettoriale con derivate parziali prime continue sulla regione.

Dove si usa il teorema della divergenza

Nel calcolo vettoriale, il teorema è un modo standard per sostituire un difficile integrale di flusso con un integrale di volume più semplice.

Nel flusso dei fluidi, mette in relazione il deflusso netto attraverso un bordo chiuso con sorgenti o pozzi all’interno della regione.

Nell’elettromagnetismo, compare in leggi di tipo Gauss, dove il flusso attraverso una superficie chiusa è legato a ciò che essa racchiude.

Più in generale, è utile ogni volta che un problema chiede il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa e la divergenza è più facile da integrare del flusso sul bordo.

Prova un problema simile sul teorema della divergenza

Prova la stessa regione $V$ ma cambia il campo in

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Trova $\nabla \cdot \mathbf{F}$, calcola l’integrale di volume sulla palla unitaria e usalo per ottenere il flusso totale uscente attraverso la sfera. Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con una diversa superficie chiusa e controlla prima se le condizioni del teorema sono ancora soddisfatte.