Teorema da Divergência — Enunciado, Demonstração e Aplicações

O teorema da divergência diz que o fluxo total para fora através de uma superfície fechada é igual à divergência total no interior do sólido que ela envolve. Se você está tentando decidir entre calcular uma integral de superfície difícil ou uma integral de volume mais simples, esse teorema costuma ser o atalho.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Aqui, $V$ é uma região sólida, $\partial V$ é sua fronteira fechada, e $\mathbf{n}$ é a normal unitária externa. O campo $\mathbf{F}$ deve ter derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região que contenha $V$. Sem essas condições, o teorema pode falhar ou exigir um enunciado mais cuidadoso.

Enunciado do teorema da divergência em linguagem simples

O lado esquerdo mede quanto do campo vetorial $\mathbf{F}$ flui para fora através da superfície de fronteira. O lado direito soma a divergência em todos os pontos dentro do volume.

A divergência é uma medida local de quanto o campo se comporta como uma fonte ou um sumidouro perto de um ponto. Então o teorema diz o seguinte: se o campo está se espalhando dentro da região, esse espalhamento aparece como fluxo líquido para fora através da fronteira.

É por isso que o teorema é útil em física e cálculo vetorial. Ele transforma uma questão sobre a fronteira em uma questão sobre o interior.

Quando você pode usar o teorema da divergência

Use o teorema da divergência quando tudo isto for verdadeiro:

1. A superfície é fechada.
2. A orientação é para fora.
3. O campo vetorial tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região e em sua fronteira.

Se a superfície for aberta, o teorema não se aplica diretamente. Se a normal apontar para dentro, a resposta ganha um sinal de menos.

Por que o teorema da divergência é verdadeiro: ideia da demonstração

Uma demonstração completa dá trabalho, mas a ideia central é curta e vale a pena conhecer.

Imagine dividir a região sólida em muitas caixinhas minúsculas. Em cada caixinha, o fluxo líquido para fora é aproximadamente a divergência naquela caixa vezes seu volume:

$$\text{fluxo líquido de uma caixinha} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Agora some os fluxos de todas as caixinhas. Cada face interna é compartilhada por duas caixas, então o fluxo que sai de uma caixa é o fluxo que entra na caixa vizinha. Essas contribuições internas se cancelam, restando apenas o fluxo através da fronteira externa.

Ao mesmo tempo, a soma de $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ sobre todas as caixas se torna uma integral tripla. À medida que as caixas encolhem, a aproximação se torna exata, o que leva ao teorema da divergência.

Exemplo resolvido: fluxo através da esfera unitária

Seja

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

e seja $V$ a bola unitária $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Sua fronteira $\partial V$ é a esfera unitária, então esta é uma superfície fechada e o teorema se aplica.

Primeiro, calcule a divergência:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Isso transforma o problema de fluxo em

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Como $3$ é constante, isso é simplesmente $3$ vezes o volume da bola unitária:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Portanto, o fluxo total para fora através da esfera é

$$4\pi.$$

Este exemplo mostra a principal vantagem do teorema. Uma integral de superfície direta sobre uma esfera é possível, mas o lado do volume é mais rápido porque a divergência é constante.

Erros comuns no teorema da divergência

Usar uma superfície aberta

O teorema da divergência é para superfícies fechadas. Um disco, uma parte de esfera ou uma folha curva sozinha não bastam.

Esquecer a normal externa

O enunciado padrão usa orientação para fora. Se você usar a normal interna, a resposta muda de sinal.

Confundir divergência com o próprio campo

Um campo vetorial grande não tem automaticamente divergência grande. A divergência depende de como as componentes variam, e não apenas do tamanho delas.

Confundir a região com sua fronteira

A integral de superfície está em $\partial V$, mas a integral tripla está em $V$. Esses objetos estão relacionados, mas não são o mesmo objeto.

Tratar o teorema como se não tivesse condições

O teorema exige hipóteses de regularidade. Em um curso introdutório, isso normalmente significa uma superfície fechada e um campo vetorial com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região.

Onde o teorema da divergência é usado

Em cálculo vetorial, o teorema é uma forma padrão de substituir uma integral de fluxo difícil por uma integral de volume mais simples.

Em escoamento de fluidos, ele relaciona o escoamento líquido para fora através de uma fronteira fechada a fontes ou sumidouros dentro da região.

Em eletromagnetismo, ele aparece em leis do tipo Gauss, nas quais o fluxo através de uma superfície fechada está ligado ao que está contido dentro dela.

De forma mais ampla, ele é útil sempre que um problema pergunta sobre o fluxo total para fora através de uma superfície fechada e a divergência é mais fácil de integrar do que o fluxo na fronteira.

Tente um problema parecido sobre o teorema da divergência

Use a mesma região $V$, mas mude o campo para

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Encontre $\nabla \cdot \mathbf{F}$, calcule a integral de volume sobre a bola unitária e use isso para obter o fluxo total para fora através da esfera. Se quiser um próximo passo, tente criar sua própria versão com uma superfície fechada diferente e verifique primeiro se as condições do teorema ainda valem.