Twierdzenie o dywergencji — sformułowanie, dowód i zastosowania

Twierdzenie o dywergencji mówi, że całkowity strumień wychodzący przez powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitej dywergencji wewnątrz bryły, którą ta powierzchnia ogranicza. Jeśli zastanawiasz się, czy liczyć trudną całkę powierzchniową, czy łatwiejszą całkę objętościową, to twierdzenie często daje skrót.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Tutaj $V$ jest obszarem bryłowym, $\partial V$ to jego zamknięty brzeg, a $\mathbf{n}$ jest zewnętrzną normalną jednostkową. Pole $\mathbf{F}$ powinno mieć ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze zawierającym $V$. Bez tych warunków twierdzenie może nie działać albo wymagać ostrożniejszego sformułowania.

Treść twierdzenia o dywergencji prostym językiem

Lewa strona mierzy, ile pola wektorowego $\mathbf{F}$ wypływa na zewnątrz przez powierzchnię brzegową. Prawa strona sumuje dywergencję w całej objętości.

Dywergencja jest lokalną miarą tego, na ile pole zachowuje się jak źródło albo ujście w pobliżu punktu. Twierdzenie mówi więc: jeśli pole rozchodzi się wewnątrz obszaru, to ten rozbieg ujawnia się jako netto przepływ na zewnątrz przez brzeg.

Dlatego twierdzenie jest użyteczne w fizyce i analizie wektorowej. Zamienia pytanie o brzeg na pytanie o wnętrze.

Kiedy można użyć twierdzenia o dywergencji

Użyj twierdzenia o dywergencji, gdy wszystkie te warunki są spełnione:

1. Powierzchnia jest zamknięta.
2. Orientacja jest skierowana na zewnątrz.
3. Pole wektorowe ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze i jego brzegu.

Jeśli powierzchnia jest otwarta, twierdzenie nie stosuje się bezpośrednio. Jeśli normalna jest skierowana do wewnątrz, odpowiedź zmienia znak.

Dlaczego twierdzenie o dywergencji jest prawdziwe: idea dowodu

Pełny dowód wymaga trochę pracy, ale główna idea jest krótka i warto ją znać.

Wyobraź sobie, że dzielisz obszar bryłowy na wiele małych prostopadłościanów. Dla każdego z nich całkowity strumień wychodzący jest w przybliżeniu równy dywergencji w tym pudełku pomnożonej przez jego objętość:

$$\text{całkowity strumień z małego pudełka} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Teraz zsumuj strumienie po wszystkich małych pudełkach. Każda ściana wewnętrzna jest wspólna dla dwóch pudełek, więc strumień wychodzący z jednego jest strumieniem wchodzącym do następnego. Te wkłady wewnętrzne się redukują, zostaje więc tylko strumień przez zewnętrzny brzeg.

Jednocześnie suma $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ po wszystkich pudełkach przechodzi w całkę potrójną. Gdy pudełka stają się coraz mniejsze, przybliżenie staje się dokładne, co daje twierdzenie o dywergencji.

Przykład: strumień przez sferę jednostkową

Niech

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

oraz niech $V$ będzie kulą jednostkową $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Jej brzeg $\partial V$ to sfera jednostkowa, więc jest to powierzchnia zamknięta i twierdzenie ma zastosowanie.

Najpierw obliczamy dywergencję:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

To zamienia problem strumienia na

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Ponieważ $3$ jest stałe, jest to po prostu $3$ razy objętość kuli jednostkowej:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Zatem całkowity strumień wychodzący przez sferę wynosi

$$4\pi.$$

Ten przykład pokazuje główną zaletę twierdzenia. Bezpośrednia całka powierzchniowa po sferze jest możliwa, ale strona objętościowa jest szybsza, bo dywergencja jest stała.

Typowe błędy przy twierdzeniu o dywergencji

Użycie powierzchni otwartej

Twierdzenie o dywergencji dotyczy powierzchni zamkniętych. Sam dysk, fragment sfery albo zakrzywiony płat powierzchni nie wystarczą.

Zapomnienie o normalnej zewnętrznej

Standardowe sformułowanie używa orientacji na zewnątrz. Jeśli użyjesz normalnej skierowanej do wewnątrz, odpowiedź zmieni znak.

Mylenie dywergencji z samym polem

Duże pole wektorowe nie musi automatycznie mieć dużej dywergencji. Dywergencja zależy od tego, jak zmieniają się składowe, a nie tylko od ich wielkości.

Mylenie obszaru z jego brzegiem

Całka powierzchniowa jest liczona po $\partial V$, ale całka potrójna po $V$. To obiekty powiązane, ale nie to samo.

Traktowanie twierdzenia tak, jakby nie miało warunków

Twierdzenie wymaga założeń regularności. Na kursie wstępnym zwykle oznacza to powierzchnię zamkniętą i pole wektorowe z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu na danym obszarze.

Gdzie używa się twierdzenia o dywergencji

W analizie wektorowej twierdzenie jest standardowym sposobem zastąpienia trudnej całki strumienia prostszą całką objętościową.

W przepływie płynów wiąże całkowity wypływ przez zamknięty brzeg ze źródłami lub ujściami wewnątrz obszaru.

W elektromagnetyzmie pojawia się w prawach typu Gaussa, gdzie strumień przez powierzchnię zamkniętą jest związany z tym, co znajduje się wewnątrz.

Szerzej mówiąc, jest przydatne wszędzie tam, gdzie zadanie dotyczy całkowitego strumienia wychodzącego przez powierzchnię zamkniętą, a dywergencję łatwiej scałkować niż strumień po brzegu.

Spróbuj podobnego zadania z twierdzeniem o dywergencji

Weź ten sam obszar $V$, ale zmień pole na

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Wyznacz $\nabla \cdot \mathbf{F}$, oblicz całkę objętościową po kuli jednostkowej i użyj jej do znalezienia całkowitego strumienia wychodzącego przez sferę. Jeśli chcesz pójść krok dalej, spróbuj własnej wersji z inną powierzchnią zamkniętą i najpierw sprawdź, czy warunki twierdzenia nadal są spełnione.