ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ — นิยาม การพิสูจน์ และการประยุกต์

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กล่าวว่า ฟลักซ์รวมที่พุ่งออกผ่านผิวปิด เท่ากับไดเวอร์เจนซ์รวมภายในของแข็งที่ผิวนั้นล้อมอยู่ ถ้าคุณกำลังตัดสินใจว่าจะคำนวณอินทิกรัลผิวที่ยาก หรืออินทิกรัลปริมาตรที่ง่ายกว่า ทฤษฎีบทนี้มักเป็นทางลัดที่ช่วยได้มาก

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

ในที่นี้ $V$ คือบริเวณตัน, $\partial V$ คือขอบเขตปิดของมัน และ $\mathbf{n}$ คือเวกเตอร์ปกติตั้งฉากหนึ่งหน่วยที่ชี้ออกด้านนอก สนาม $\mathbf{F}$ ควรมีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องบนบริเวณที่ครอบคลุม $V$ ถ้าไม่มีเงื่อนไขเหล่านี้ ทฤษฎีบทอาจใช้ไม่ได้หรืออาจต้องระบุอย่างระมัดระวังมากขึ้น

คำกล่าวของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์แบบเข้าใจง่าย

ด้านซ้ายวัดว่าสนามเวกเตอร์ $\mathbf{F}$ ไหลออกผ่านผิวขอบเขตมากเพียงใด ส่วนด้านขวาคือการรวมค่าไดเวอร์เจนซ์ทุกจุดภายในปริมาตร

ไดเวอร์เจนซ์เป็นตัววัดเชิงเฉพาะที่ว่า สนามมีพฤติกรรมเหมือนแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดกลืนใกล้จุดหนึ่งมากน้อยเพียงใด ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงบอกว่า ถ้าสนามกำลังกระจายออกภายในบริเวณนั้น การกระจายนี้จะปรากฏเป็นการไหลออกสุทธิผ่านขอบเขต

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ในฟิสิกส์และแคลคูลัสเวกเตอร์ มันเปลี่ยนปัญหาบนขอบเขตให้กลายเป็นปัญหาภายในบริเวณ

เมื่อใดที่ใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ได้

ใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์เมื่อเงื่อนไขทั้งหมดต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ผิวต้องเป็นผิวปิด
2. การวางแนวต้องชี้ออกด้านนอก
3. สนามเวกเตอร์ต้องมีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องบนบริเวณและบนขอบเขตของมัน

ถ้าผิวเป็นผิวเปิด ทฤษฎีบทนี้ใช้โดยตรงไม่ได้ ถ้าเวกเตอร์ปกติตั้งฉากชี้เข้าด้านใน คำตอบจะติดเครื่องหมายลบ

ทำไมทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์จึงเป็นจริง: แนวคิดการพิสูจน์

การพิสูจน์แบบเต็มต้องใช้รายละเอียดพอสมควร แต่แนวคิดหลักสั้นและควรรู้ไว้

ลองจินตนาการว่าเราแบ่งบริเวณตันออกเป็นกล่องเล็ก ๆ จำนวนมาก สำหรับแต่ละกล่องเล็ก ฟลักซ์สุทธิที่พุ่งออกจะประมาณได้ด้วยค่าไดเวอร์เจนซ์ที่กล่องนั้นคูณกับปริมาตรของมัน:

$$\text{net flux from a tiny box} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

จากนั้นนำฟลักซ์ของทุกกล่องมาบวกกัน ทุกหน้าภายในจะเป็นหน้าร่วมของสองกล่อง ดังนั้นฟลักซ์ที่ออกจากกล่องหนึ่งจะเท่ากับฟลักซ์ที่เข้าสู่กล่องข้างเคียง พจน์ภายในเหล่านี้จึงหักล้างกัน เหลือเพียงฟลักซ์ผ่านขอบเขตด้านนอกเท่านั้น

ในเวลาเดียวกัน ผลรวมของ $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ จากทุกกล่องจะกลายเป็นอินทิกรัลสามชั้น เมื่อกล่องเล็กลงเรื่อย ๆ การประมาณจะกลายเป็นค่าที่ถูกต้องพอดี ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

ตัวอย่างที่ทำให้ดู: ฟลักซ์ผ่านทรงกลมหนึ่งหน่วย

ให้

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

และให้ $V$ เป็นลูกบอลหนึ่งหน่วย $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ ขอบเขตของมัน $\partial V$ คือทรงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้นนี่เป็นผิวปิดและใช้ทฤษฎีบทได้

เริ่มจากคำนวณไดเวอร์เจนซ์:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

จึงเปลี่ยนปัญหาฟลักซ์ให้เป็น

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

เนื่องจาก $3$ เป็นค่าคงที่ นี่จึงเท่ากับ $3$ คูณด้วยปริมาตรของลูกบอลหนึ่งหน่วย:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

ดังนั้นฟลักซ์รวมที่พุ่งออกผ่านทรงกลมคือ

$$4\pi.$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นข้อดีหลักของทฤษฎีบทนี้ การคำนวณอินทิกรัลผิวโดยตรงบนทรงกลมก็ทำได้ แต่ฝั่งอินทิกรัลปริมาตรเร็วกว่า เพราะไดเวอร์เจนซ์เป็นค่าคงที่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

ใช้กับผิวเปิด

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ใช้กับผิวปิดเท่านั้น แผ่นจาน วงส่วนของทรงกลม หรือแผ่นโค้งเพียงอย่างเดียว ยังไม่เพียงพอ

ลืมว่าเวกเตอร์ปกติตั้งฉากต้องชี้ออกด้านนอก

คำกล่าวมาตรฐานใช้การวางแนวออกด้านนอก ถ้าคุณใช้เวกเตอร์ปกติตั้งฉากที่ชี้เข้าด้านใน คำตอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

สับสนระหว่างไดเวอร์เจนซ์กับตัวสนามเอง

สนามเวกเตอร์ที่มีขนาดใหญ่ ไม่ได้แปลว่าจะมีไดเวอร์เจนซ์มากโดยอัตโนมัติ ไดเวอร์เจนซ์ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบ ไม่ใช่แค่ขนาดของมันเท่านั้น

สลับกันระหว่างบริเวณกับขอบเขตของมัน

อินทิกรัลผิวอยู่บน $\partial V$ แต่อินทิกรัลสามชั้นอยู่บน $V$ ทั้งสองอย่างเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่วัตถุเดียวกัน

คิดว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้โดยไม่มีเงื่อนไข

ทฤษฎีบทนี้ต้องมีสมมติฐานเรื่องความเรียบ ในวิชาเบื้องต้น มักหมายถึงผิวปิดและสนามเวกเตอร์ที่มีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องบนบริเวณนั้น

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ถูกใช้ที่ไหน

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ ทฤษฎีบทนี้เป็นวิธีมาตรฐานในการแทนอินทิกรัลฟลักซ์ที่ยากด้วยอินทิกรัลปริมาตรที่ง่ายกว่า

ในการไหลของของไหล มันเชื่อมโยงการไหลออกสุทธิผ่านขอบเขตปิดกับแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดกลืนภายในบริเวณ

ในแม่เหล็กไฟฟ้า มันปรากฏในกฎแบบเกาส์ ซึ่งฟลักซ์ผ่านผิวปิดจะสัมพันธ์กับสิ่งที่ถูกล้อมอยู่ภายใน

ในภาพรวม ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ทุกครั้งที่โจทย์ถามหาฟลักซ์รวมที่พุ่งออกผ่านผิวปิด และไดเวอร์เจนซ์อินทิเกรตได้ง่ายกว่าฟลักซ์บนขอบเขต

ลองทำโจทย์ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ที่คล้ายกัน

ลองใช้บริเวณเดิม $V$ แต่เปลี่ยนสนามเป็น

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

หา $\nabla \cdot \mathbf{F}$ คำนวณอินทิกรัลปริมาตรบนลูกบอลหนึ่งหน่วย แล้วใช้ผลนั้นหาฟลักซ์รวมที่พุ่งออกผ่านทรงกลม ถ้าต้องการลองต่ออีกขั้น ให้สร้างโจทย์ของคุณเองโดยใช้ผิวปิดแบบอื่น และตรวจสอบก่อนว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบทยังคงเป็นจริงหรือไม่