Θεώρημα Απόκλισης — Διατύπωση, Απόδειξη & Εφαρμογές

Το θεώρημα απόκλισης λέει ότι η συνολική εξερχόμενη ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας ισούται με τη συνολική απόκλιση μέσα στο στερεό που αυτή περικλείει. Αν προσπαθείς να αποφασίσεις αν θα υπολογίσεις ένα δύσκολο επιφανειακό ολοκλήρωμα ή ένα ευκολότερο ολοκλήρωμα όγκου, αυτό το θεώρημα είναι συχνά η συντόμευση.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Εδώ το $V$ είναι μια στερεή περιοχή, το $\partial V$ είναι το κλειστό σύνορό της και το $\mathbf{n}$ είναι το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Το πεδίο $\mathbf{F}$ πρέπει να έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους σε μια περιοχή που περιέχει το $V$. Χωρίς αυτές τις προϋποθέσεις, το θεώρημα μπορεί να μην ισχύει ή να χρειάζεται πιο προσεκτική διατύπωση.

Διατύπωση του θεωρήματος απόκλισης με απλά λόγια

Το αριστερό μέλος μετρά πόσο το διανυσματικό πεδίο $\mathbf{F}$ ρέει προς τα έξω μέσω της οριακής επιφάνειας. Το δεξί μέλος αθροίζει την απόκλιση σε κάθε σημείο μέσα στον όγκο.

Η απόκλιση είναι ένα τοπικό μέτρο του πόσο το πεδίο συμπεριφέρεται σαν πηγή ή καταβόθρα κοντά σε ένα σημείο. Άρα το θεώρημα λέει το εξής: αν το πεδίο απλώνεται προς τα έξω μέσα στην περιοχή, αυτή η διασπορά εμφανίζεται ως καθαρή εξερχόμενη ροή πάνω στο σύνορο.

Γι’ αυτό το θεώρημα είναι χρήσιμο στη φυσική και στον διανυσματικό λογισμό. Μετατρέπει ένα ερώτημα για το σύνορο σε ένα ερώτημα για το εσωτερικό.

Πότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις το θεώρημα απόκλισης

Χρησιμοποίησε το θεώρημα απόκλισης όταν ισχύουν όλα τα παρακάτω:

1. Η επιφάνεια είναι κλειστή.
2. Ο προσανατολισμός είναι προς τα έξω.
3. Το διανυσματικό πεδίο έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους στην περιοχή και στο σύνορό της.

Αν η επιφάνεια είναι ανοιχτή, το θεώρημα δεν εφαρμόζεται άμεσα. Αν το κάθετο διάνυσμα δείχνει προς τα μέσα, η απάντηση παίρνει αρνητικό πρόσημο.

Γιατί ισχύει το θεώρημα απόκλισης: ιδέα της απόδειξης

Μια πλήρης απόδειξη θέλει δουλειά, αλλά η κεντρική ιδέα είναι σύντομη και αξίζει να τη γνωρίζεις.

Φαντάσου ότι χωρίζεις τη στερεή περιοχή σε πολλά πολύ μικρά κουτιά. Σε κάθε μικρό κουτί, η καθαρή εξερχόμενη ροή είναι περίπου η απόκλιση σε εκείνο το κουτί επί τον όγκο του:

$$\text{καθαρή ροή από ένα μικρό κουτί} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Τώρα άθροισε τις ροές σε όλα τα μικρά κουτιά. Κάθε εσωτερική έδρα μοιράζεται από δύο κουτιά, οπότε η ροή που φεύγει από το ένα κουτί είναι η ροή που μπαίνει στο επόμενο. Αυτές οι εσωτερικές συνεισφορές αλληλοαναιρούνται, και μένει μόνο η ροή μέσω του εξωτερικού συνόρου.

Ταυτόχρονα, το άθροισμα των $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ σε όλα τα κουτιά γίνεται τριπλό ολοκλήρωμα. Καθώς τα κουτιά μικραίνουν, η προσέγγιση γίνεται ακριβής, και έτσι προκύπτει το θεώρημα απόκλισης.

Λυμένο παράδειγμα: ροή μέσω της μοναδιαίας σφαίρας

Έστω

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

και έστω $V$ η μοναδιαία σφαίρα $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Το σύνορό της $\partial V$ είναι η μοναδιαία σφαίρα, άρα αυτή είναι κλειστή επιφάνεια και το θεώρημα εφαρμόζεται.

Πρώτα υπολόγισε την απόκλιση:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Αυτό μετατρέπει το πρόβλημα της ροής στο

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Αφού το $3$ είναι σταθερό, αυτό είναι απλώς $3$ φορές ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Επομένως η συνολική εξερχόμενη ροή μέσω της σφαίρας είναι

$$4\pi.$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει το βασικό πλεονέκτημα του θεωρήματος. Ένα άμεσο επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω σε σφαίρα είναι δυνατό, αλλά η πλευρά του όγκου είναι ταχύτερη επειδή η απόκλιση είναι σταθερή.

Συνηθισμένα λάθη στο θεώρημα απόκλισης

Χρήση ανοιχτής επιφάνειας

Το θεώρημα απόκλισης ισχύει για κλειστές επιφάνειες. Ένας δίσκος, ένα τμήμα σφαίρας ή ένα καμπύλο φύλλο από μόνο του δεν αρκεί.

Ξεχνάς το εξωτερικό κάθετο διάνυσμα

Η τυπική διατύπωση χρησιμοποιεί εξωτερικό προσανατολισμό. Αν χρησιμοποιήσεις το εσωτερικό κάθετο διάνυσμα, η απάντηση αλλάζει πρόσημο.

Σύγχυση της απόκλισης με το ίδιο το πεδίο

Ένα μεγάλο διανυσματικό πεδίο δεν έχει αυτόματα μεγάλη απόκλιση. Η απόκλιση εξαρτάται από το πώς αλλάζουν οι συνιστώσες, όχι μόνο από το μέγεθός τους.

Μπέρδεμα της περιοχής με το σύνορό της

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα ορίζεται στο $\partial V$, αλλά το τριπλό ολοκλήρωμα ορίζεται στο $V$. Είναι συνδεδεμένα αντικείμενα, όχι το ίδιο αντικείμενο.

Αντιμετώπιση του θεωρήματος σαν να μην έχει προϋποθέσεις

Το θεώρημα χρειάζεται υποθέσεις κανονικότητας. Σε ένα εισαγωγικό μάθημα, αυτό συνήθως σημαίνει κλειστή επιφάνεια και διανυσματικό πεδίο με συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους στην περιοχή.

Πού χρησιμοποιείται το θεώρημα απόκλισης

Στον διανυσματικό λογισμό, το θεώρημα είναι ένας τυπικός τρόπος να αντικαταστήσεις ένα δύσκολο ολοκλήρωμα ροής με ένα απλούστερο ολοκλήρωμα όγκου.

Στη ροή ρευστών, συνδέει την καθαρή εκροή μέσω ενός κλειστού συνόρου με πηγές ή καταβόθρες μέσα στην περιοχή.

Στον ηλεκτρομαγνητισμό, εμφανίζεται σε νόμους τύπου Gauss, όπου η ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας συνδέεται με αυτό που περικλείεται.

Πιο γενικά, είναι χρήσιμο κάθε φορά που ένα πρόβλημα ζητά τη συνολική εξερχόμενη ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας και η απόκλιση ολοκληρώνεται ευκολότερα από τη ροή στο σύνορο.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με το θεώρημα απόκλισης

Δοκίμασε την ίδια περιοχή $V$, αλλά άλλαξε το πεδίο σε

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Βρες το $\nabla \cdot \mathbf{F}$, υπολόγισε το ολοκλήρωμα όγκου πάνω στη μοναδιαία σφαίρα και χρησιμοποίησέ το για να βρεις τη συνολική εξερχόμενη ροή μέσω της σφαίρας. Αν θέλεις ένα επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με διαφορετική κλειστή επιφάνεια και έλεγξε πρώτα αν εξακολουθούν να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.