Định lý phân kỳ — Phát biểu, Chứng minh & Ứng dụng

Định lý phân kỳ nói rằng tổng thông lượng hướng ra ngoài qua một mặt kín bằng tổng phân kỳ bên trong khối mà nó bao quanh. Nếu bạn đang phân vân giữa việc tính một tích phân mặt khó hay một tích phân thể tích dễ hơn, thì định lý này thường là lối tắt hữu ích.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Ở đây $V$ là một miền khối, $\partial V$ là biên kín của nó, và $\mathbf{n}$ là pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài. Trường $\mathbf{F}$ cần có các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục trên một miền chứa $V$. Nếu thiếu các điều kiện đó, định lý có thể không còn đúng hoặc cần được phát biểu cẩn thận hơn.

Phát biểu định lý phân kỳ bằng ngôn ngữ đơn giản

Vế trái đo lượng trường vectơ $\mathbf{F}$ chảy ra ngoài qua mặt biên. Vế phải cộng phân kỳ tại mọi điểm bên trong thể tích.

Phân kỳ là một đại lượng cục bộ cho biết trường giống một nguồn hay một hố tại gần một điểm đến mức nào. Vì vậy, định lý nói rằng: nếu trường đang tỏa ra bên trong miền, thì sự tỏa ra đó sẽ xuất hiện dưới dạng dòng chảy ròng hướng ra ngoài qua biên.

Đó là lý do định lý này hữu ích trong vật lý và giải tích vectơ. Nó biến một bài toán trên biên thành một bài toán bên trong miền.

Khi nào có thể dùng định lý phân kỳ

Dùng định lý phân kỳ khi tất cả các điều sau đều đúng:

1. Mặt là mặt kín.
2. Hướng là hướng ra ngoài.
3. Trường vectơ có các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục trên miền và biên của nó.

Nếu mặt là mặt mở, định lý không áp dụng trực tiếp. Nếu pháp tuyến hướng vào trong, đáp án sẽ đổi dấu âm.

Vì sao định lý phân kỳ đúng: ý tưởng chứng minh

Một chứng minh đầy đủ cần khá nhiều bước, nhưng ý tưởng cốt lõi thì ngắn gọn và rất đáng biết.

Hãy tưởng tượng chia miền khối thành rất nhiều hộp nhỏ. Trên mỗi hộp nhỏ, thông lượng ròng hướng ra ngoài xấp xỉ bằng phân kỳ tại hộp đó nhân với thể tích của nó:

$$\text{thông lượng ròng của một hộp nhỏ} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Bây giờ cộng các thông lượng của tất cả các hộp nhỏ. Mỗi mặt bên trong được hai hộp cùng chia sẻ, nên thông lượng đi ra khỏi hộp này chính là thông lượng đi vào hộp kế bên. Các phần đóng góp ở bên trong vì thế triệt tiêu nhau, chỉ còn lại thông lượng qua biên ngoài.

Đồng thời, tổng của $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ trên mọi hộp trở thành một tích phân ba lớp. Khi các hộp co nhỏ lại, phép xấp xỉ trở thành chính xác, và ta thu được định lý phân kỳ.

Ví dụ có lời giải: thông lượng qua mặt cầu đơn vị

Cho

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

và gọi $V$ là khối cầu đơn vị $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Biên của nó $\partial V$ là mặt cầu đơn vị, nên đây là một mặt kín và định lý được áp dụng.

Trước hết tính phân kỳ:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Điều đó biến bài toán thông lượng thành

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Vì $3$ là hằng số, nên đây chỉ là $3$ lần thể tích của khối cầu đơn vị:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Vì vậy tổng thông lượng hướng ra ngoài qua mặt cầu là

$$4\pi.$$

Ví dụ này cho thấy ưu điểm chính của định lý. Ta vẫn có thể tính trực tiếp tích phân mặt trên mặt cầu, nhưng phía tích phân thể tích nhanh hơn vì phân kỳ là hằng số.

Những lỗi thường gặp khi dùng định lý phân kỳ

Dùng cho mặt mở

Định lý phân kỳ dành cho mặt kín. Một đĩa tròn, một mảnh mặt cầu, hay một tấm cong riêng lẻ đều chưa đủ.

Quên pháp tuyến hướng ra ngoài

Phát biểu chuẩn dùng hướng ra ngoài. Nếu bạn dùng pháp tuyến hướng vào trong, đáp án sẽ đổi dấu.

Nhầm phân kỳ với chính trường vectơ

Một trường vectơ lớn không tự động có phân kỳ lớn. Phân kỳ phụ thuộc vào cách các thành phần thay đổi, không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của chúng.

Nhầm lẫn giữa miền và biên của miền

Tích phân mặt được lấy trên $\partial V$, còn tích phân ba lớp được lấy trên $V$. Chúng có liên hệ với nhau, nhưng không phải là cùng một đối tượng.

Xem định lý như không cần điều kiện

Định lý cần các giả thiết về tính trơn. Trong một khóa học nhập môn, điều này thường có nghĩa là mặt phải kín và trường vectơ phải có các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục trên miền.

Định lý phân kỳ được dùng ở đâu

Trong giải tích vectơ, đây là một cách tiêu chuẩn để thay một tích phân thông lượng khó bằng một tích phân thể tích đơn giản hơn.

Trong dòng chảy chất lưu, nó liên hệ dòng chảy ròng đi ra qua một biên kín với các nguồn hoặc hố nằm bên trong miền.

Trong điện từ học, nó xuất hiện trong các định luật kiểu Gauss, nơi thông lượng qua một mặt kín gắn với những gì được chứa bên trong.

Nói rộng hơn, nó hữu ích bất cứ khi nào bài toán hỏi về tổng thông lượng hướng ra ngoài qua một mặt kín và phân kỳ lại dễ tích phân hơn thông lượng trên biên.

Thử một bài tương tự về định lý phân kỳ

Hãy giữ nguyên miền $V$ nhưng đổi trường thành

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Hãy tìm $\nabla \cdot \mathbf{F}$, tính tích phân thể tích trên khối cầu đơn vị, rồi dùng kết quả đó để suy ra tổng thông lượng hướng ra ngoài qua mặt cầu. Nếu muốn làm thêm một bước nữa, hãy tự thử với một mặt kín khác và kiểm tra trước xem các điều kiện của định lý còn thỏa mãn hay không.