Teorema de la divergencia — enunciado, demostración y aplicaciones

El teorema de la divergencia dice que el flujo total saliente a través de una superficie cerrada es igual a la divergencia total dentro del sólido que encierra. Si estás tratando de decidir entre calcular una integral de superficie difícil o una integral de volumen más sencilla, este teorema suele ser el atajo.

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

Aquí $V$ es una región sólida, $\partial V$ es su frontera cerrada y $\mathbf{n}$ es la normal unitaria saliente. El campo $\mathbf{F}$ debe tener derivadas parciales primeras continuas en una región que contenga a $V$. Sin esas condiciones, el teorema puede fallar o requerir un enunciado más cuidadoso.

Enunciado del teorema de la divergencia en palabras simples

El lado izquierdo mide cuánto fluye hacia afuera el campo vectorial $\mathbf{F}$ a través de la superficie frontera. El lado derecho suma la divergencia en todos los puntos del volumen interior.

La divergencia es una medida local de cuánto se comporta el campo como una fuente o un sumidero cerca de un punto. Así que el teorema dice: si el campo se expande dentro de la región, esa expansión aparece como flujo neto saliente a través de la frontera.

Por eso el teorema es útil en física y en cálculo vectorial. Convierte una pregunta sobre la frontera en una pregunta sobre el interior.

Cuándo puedes usar el teorema de la divergencia

Usa el teorema de la divergencia cuando se cumplan todas estas condiciones:

1. La superficie es cerrada.
2. La orientación es hacia afuera.
3. El campo vectorial tiene derivadas parciales primeras continuas en la región y en su frontera.

Si la superficie es abierta, el teorema no se aplica directamente. Si la normal apunta hacia adentro, la respuesta cambia de signo.

Por qué es cierto el teorema de la divergencia: idea de la demostración

Una demostración completa requiere trabajo, pero la idea central es breve y vale la pena conocerla.

Imagina que divides la región sólida en muchas cajas muy pequeñas. En cada caja, el flujo neto saliente es aproximadamente la divergencia en esa caja multiplicada por su volumen:

$$\text{flujo neto de una caja pequeña} \approx (\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V.$$

Ahora suma los flujos de todas las cajas pequeñas. Cada cara interior es compartida por dos cajas, así que el flujo que sale de una caja es el flujo que entra en la caja vecina. Esas contribuciones interiores se cancelan y solo queda el flujo a través de la frontera exterior.

Al mismo tiempo, la suma de $(\nabla \cdot \mathbf{F})\, \Delta V$ sobre todas las cajas se convierte en una integral triple. A medida que las cajas se hacen más pequeñas, la aproximación se vuelve exacta, y eso da el teorema de la divergencia.

Ejemplo resuelto: flujo a través de la esfera unitaria

Sea

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z),$$

y sea $V$ la bola unitaria $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Su frontera $\partial V$ es la esfera unitaria, así que esta es una superficie cerrada y el teorema se aplica.

Primero calcula la divergencia:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.$$

Eso convierte el problema de flujo en

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS = \iiint_V 3\, dV.$$

Como $3$ es constante, esto es simplemente $3$ por el volumen de la bola unitaria:

$$\iiint_V 3\, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.$$

Por lo tanto, el flujo total saliente a través de la esfera es

$$4\pi.$$

Este ejemplo muestra la principal ventaja del teorema. Una integral de superficie directa sobre una esfera es posible, pero el lado del volumen es más rápido porque la divergencia es constante.

Errores comunes con el teorema de la divergencia

Usar una superficie abierta

El teorema de la divergencia es para superficies cerradas. Un disco, una parte de una esfera o una lámina curva por sí sola no basta.

Olvidar la normal saliente

El enunciado estándar usa orientación hacia afuera. Si usas la normal hacia adentro, la respuesta cambia de signo.

Confundir la divergencia con el propio campo

Un campo vectorial grande no tiene automáticamente una divergencia grande. La divergencia depende de cómo cambian las componentes, no solo de su tamaño.

Confundir la región con su frontera

La integral de superficie vive en $\partial V$, pero la integral triple vive en $V$. Son objetos relacionados, no el mismo objeto.

Tratar el teorema como si no tuviera condiciones

El teorema necesita hipótesis de regularidad. En un curso introductorio, esto normalmente significa una superficie cerrada y un campo vectorial con derivadas parciales primeras continuas en la región.

Dónde se usa el teorema de la divergencia

En cálculo vectorial, el teorema es una forma estándar de reemplazar una integral de flujo difícil por una integral de volumen más simple.

En flujo de fluidos, relaciona la salida neta a través de una frontera cerrada con fuentes o sumideros dentro de la región.

En electromagnetismo, aparece en leyes de tipo Gauss, donde el flujo a través de una superficie cerrada está ligado a lo que queda encerrado.

De forma más general, es útil siempre que un problema pregunte por el flujo total saliente a través de una superficie cerrada y la divergencia sea más fácil de integrar que el flujo en la frontera.

Prueba un problema similar del teorema de la divergencia

Prueba la misma región $V$ pero cambia el campo a

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (2x,2y,2z).$$

Halla $\nabla \cdot \mathbf{F}$, calcula la integral de volumen sobre la bola unitaria y úsala para obtener el flujo total saliente a través de la esfera. Si quieres un paso más, intenta tu propia versión con una superficie cerrada distinta y comprueba primero si se siguen cumpliendo las condiciones del teorema.