Διάγραμμα ελευθέρου σώματος

Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος είναι ένα απλό σκαρίφημα ενός επιλεγμένου αντικειμένου, στο οποίο κάθε εξωτερική δύναμη πάνω του παριστάνεται με ένα βέλος. Το χρησιμοποιείς για να απομονώσεις το αντικείμενο από το υπόλοιπο σύστημα, ώστε να εφαρμόσεις τους νόμους του Νεύτωνα χωρίς να μπερδεύεις δυνάμεις που ασκούνται αλλού.

Ο πιο γρήγορος έλεγχος είναι ο εξής: τι σπρώχνει ή τραβά το αντικείμενο αυτή τη στιγμή και ποια είναι η πηγή αυτής της δύναμης; Αν δεν μπορείς να κατονομάσεις την πηγή, τότε η δύναμη μάλλον δεν πρέπει ακόμη να μπει στο διάγραμμα.

Τι δείχνει ένα διάγραμμα ελευθέρου σώματος

Ένα διάγραμμα ελευθέρου σώματος συνήθως περιλαμβάνει:

• το αντικείμενο, σχεδιασμένο ως κουτί, τελεία ή άλλο απλό σχήμα
• ένα βέλος για κάθε εξωτερική δύναμη που ασκείται σε αυτό το αντικείμενο
• σημάνσεις όπως βάρος $mg$, κάθετη δύναμη $N$, τάση $T$, τριβή $f$ ή μια εφαρμοζόμενη δύναμη
• άξονες, αν κάνουν τις κατευθύνσεις ή τις συνιστώσες πιο εύκολες στη διαχείριση

Η λέξη-κλειδί είναι εξωτερική. Το βάρος ανήκει στο διάγραμμα επειδή η Γη έλκει το αντικείμενο. Η κάθετη δύναμη ανήκει επειδή μια επιφάνεια σπρώχνει το αντικείμενο. Η τάση ανήκει επειδή ένα σχοινί τραβά το αντικείμενο.

Πώς να σχεδιάσεις ένα διάγραμμα ελευθέρου σώματος

Για τα περισσότερα εισαγωγικά προβλήματα φυσικής, αυτή η διαδικασία τεσσάρων βημάτων αρκεί:

1. Επίλεξε μόνο ένα αντικείμενο.
2. Αντικατάστησέ το με ένα απλό κουτί ή μια τελεία.
3. Πρόσθεσε ένα βέλος για κάθε εξωτερική δύναμη που ασκείται σε αυτό το αντικείμενο.
4. Σημείωσε κάθε δύναμη και επίλεξε άξονες που κάνουν το πρόβλημα πιο εύκολο.

Αυτό αρκεί για να αρχίσεις να γράφεις εξισώσεις. Αν μια δύναμη ασκείται υπό γωνία, μπορείς αργότερα να τη διασπάσεις σε συνιστώσες στον άξονα $x$ και στον άξονα $y$, αλλά το πρώτο διάγραμμα πρέπει να δείχνει την πραγματική δύναμη πριν τη διασπάσεις.

Τι να αφήνεις έξω

Το να αφήνεις πράγματα έξω είναι το σημείο όπου ξεκινούν πολλά λάθη. Ένα διάγραμμα ελευθέρου σώματος δεν πρέπει να περιλαμβάνει:

• την ταχύτητα ή την επιτάχυνση σχεδιασμένες σαν να ήταν δυνάμεις
• δυνάμεις που ασκούνται σε κάποιο άλλο αντικείμενο
• μια δύναμη που προστίθεται μόνο και μόνο επειδή το αντικείμενο κινείται
• το ζεύγος της τρίτης αρχής του Νεύτωνα, εκτός αν ασκείται επίσης στο επιλεγμένο αντικείμενο

Για παράδειγμα, αν ένα κουτί σπρώχνει προς τα κάτω ένα τραπέζι, αυτή η προς τα κάτω δύναμη ασκείται στο τραπέζι. Δεν ανήκει στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος του κουτιού.

Λυμένο παράδειγμα: κουτί που τραβιέται πάνω σε τραχύ δάπεδο

Έστω ότι ένα κουτί τραβιέται προς τα δεξιά από ένα οριζόντιο σχοινί, ενώ ολισθαίνει πάνω σε τραχύ δάπεδο. Σχεδίασε το διάγραμμα μόνο για το κουτί, όχι για το σχοινί ή το δάπεδο.

Οι δυνάμεις στο κουτί είναι:

• βάρος $mg$ προς τα κάτω
• κάθετη δύναμη $N$ προς τα πάνω από το δάπεδο
• τάση $T$ προς τα δεξιά από το σχοινί
• τριβή ολίσθησης $f_k$ προς τα αριστερά από το δάπεδο

Μόλις το διάγραμμα είναι ξεκάθαρο, γράψε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για κάθε κατεύθυνση:

$$\sum F_x = T - f_k$$ $$\sum F_y = N - mg$$

Αν το κουτί κινείται με σταθερή ταχύτητα και το σχοινί είναι οριζόντιο, τότε η επιτάχυνση είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση,

$$T = f_k$$

και

$$N = mg$$

Αυτές οι ισότητες εξαρτώνται από τη συνθήκη. Αν το κουτί επιταχύνεται, τότε $T > f_k$. Αν το σχοινί τραβά προς τα πάνω υπό γωνία, τότε δεν πρέπει να υποθέσεις ότι $N = mg$, επειδή μέρος της έλξης αλλάζει την κατακόρυφη ισορροπία δυνάμεων.

Συνηθισμένα λάθη στα διαγράμματα ελευθέρου σώματος

• Σύγχυση ανάμεσα στην κίνηση και τη δύναμη. Ένα αντικείμενο μπορεί να κινείται προς τα δεξιά ενώ η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν.
• Να ξεχνάς να επιλέξεις ένα μόνο αντικείμενο. Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος δεν είναι εικόνα όλης της κατάστασης.
• Να υποθέτεις ότι κάθε δύναμη επαφής υπάρχει αυτόματα. Η τριβή, για παράδειγμα, εμφανίζεται μόνο αν οι συνθήκες επαφής και κίνησης το υποστηρίζουν.
• Να γράφεις $N = mg$ από συνήθεια. Αυτό ισχύει μόνο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, όχι σε κάθε πρόβλημα.

Πότε χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος

Τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος εμφανίζονται σχεδόν σε κάθε θέμα μηχανικής: σώματα πάνω σε επιφάνειες, τροχαλίες, κεκλιμένα επίπεδα, ισορροπία και προβλήματα του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα. Συχνά είναι το βήμα που μετατρέπει ένα λεκτικό πρόβλημα σε επιλύσιμη εξίσωση δυνάμεων.

Αν θέλεις ένα πρακτικό επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή σε ένα απλό πρόβλημα με κεκλιμένο επίπεδο ή τροχαλία. Έπειτα σύγκρινε το σχήμα των δυνάμεών σου με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και την τρίτη αρχή του Νεύτωνα, ώστε να μη μπερδεύεις την ισορροπία δυνάμεων με τα ζεύγη δράσης-αντίδρασης.