Ορμή — Τύπος, Διατήρηση & Ώση

Η ορμή δείχνει πόσο δύσκολο είναι να σταματήσεις ή να αλλάξεις την κατεύθυνση της κίνησης ενός σώματος. Στην εισαγωγική φυσική, η γραμμική ορμή είναι

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Αυτό σημαίνει ότι η ορμή εξαρτάται από τη μάζα, το μέτρο της ταχύτητας και την κατεύθυνση. Επειδή η ταχύτητα είναι διάνυσμα, διάνυσμα είναι και η ορμή.

Αν θυμάσαι μόνο μία ιδέα, να θυμάσαι αυτή: μεγαλύτερη μάζα ή μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μεγαλύτερη ορμή, και για να αλλάξει η ορμή απαιτείται ώση.

Τι σημαίνει το $p = mv$

Για ένα μόνο σώμα σταθερής μάζας που κινείται με ταχύτητα πολύ μικρότερη από τις σχετικιστικές ταχύτητες, το μέτρο της ορμής είναι

$$p = mv$$

Η μονάδα SI είναι $kg \cdot m/s$.

Αυτός είναι ο βασικός τύπος για τα συνηθισμένα προβλήματα μηχανικής. Αν οι ταχύτητες είναι συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός, αυτή η κλασική μορφή δεν αρκεί πλέον.

Γιατί η κατεύθυνση έχει σημασία στα προβλήματα ορμής

Η ορμή δεν είναι απλώς «μάζα επί ταχύτητα». Είναι μάζα επί διανυσματική ταχύτητα, άρα η κατεύθυνση παραμένει μέρος της.

Αυτό σημαίνει ότι δύο σώματα μπορεί να έχουν το ίδιο μέτρο ορμής αλλά αντίθετα διανύσματα ορμής. Για παράδειγμα, $3\ kg \cdot m/s$ προς ανατολάς και $3\ kg \cdot m/s$ προς δυσμάς δεν ενισχύουν το συνολικό αποτέλεσμα σε ένα σύστημα. Αλληλοαναιρούνται.

Γι’ αυτό η ορμή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε προβλήματα κρούσεων και ανάκρουσης.

Πότε διατηρείται η ορμή

Η ορμή διατηρείται για ένα σύστημα όταν η συνισταμένη εξωτερική ώση στο σύστημα είναι μηδενική ή αμελητέα στο χρονικό διάστημα που σε ενδιαφέρει. Σε πολλά προβλήματα κρούσεων των σχολικών βιβλίων, αυτό προσεγγίζεται ως απομονωμένο σύστημα.

Υπό αυτή τη συνθήκη,

$$\vec{p}_{\text{initial}} = \vec{p}_{\text{final}}$$

Αυτό είναι μια πρόταση για το σύστημα, όχι ισχυρισμός ότι κάθε σώμα διατηρεί τη δική του ορμή αμετάβλητη. Κατά τη διάρκεια μιας κρούσης, ένα σώμα μπορεί να χάνει ορμή ενώ ένα άλλο να κερδίζει. Αυτό που παραμένει σταθερό είναι η συνολική ορμή του συστήματος.

Πώς η ώση αλλάζει την ορμή

Η ώση είναι το μέγεθος που μεταβάλλει την ορμή. Γενικά,

$$\vec{J} = \Delta \vec{p}$$

και για σταθερή συνισταμένη δύναμη σε χρονικό διάστημα $\Delta t$,

$$\vec{J} = \vec{F}_{\text{net}} \Delta t$$

Συνδυάζοντάς τα, προκύπτει η γνωστή σχέση ώσης-ορμής:

$$\vec{F}_{\text{net}} \Delta t = \Delta \vec{p}$$

Αν η συνισταμένη εξωτερική ώση σε ένα σύστημα είναι περίπου μηδέν, τότε η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Γι’ αυτό οι σύντομες κρούσεις συχνά λύνονται με διατήρηση της ορμής, ακόμη κι όταν οι δυνάμεις κατά την πρόσκρουση είναι περίπλοκες.

Λυμένο παράδειγμα: Δύο αμαξίδια κολλούν μαζί

Ένα αμαξίδιο μάζας $2.0\ \mathrm{kg}$ που κινείται με $3.0\ \mathrm{m/s}$ προς τα δεξιά συγκρούεται με ένα αμαξίδιο μάζας $1.0\ \mathrm{kg}$ που αρχικά είναι ακίνητο πάνω σε τροχιά με μικρή τριβή. Μετά την κρούση κολλούν μεταξύ τους. Να βρεθεί η τελική τους ταχύτητα.

Επειδή η τροχιά έχει μικρή τριβή, θεωρούμε ότι η εξωτερική ώση κατά τη σύντομη διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη διατήρηση της ορμής για το σύστημα των δύο αμαξιδίων.

Αρχική ορμή:

$$p_{\text{initial}} = (2.0)(3.0) + (1.0)(0) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Μετά την κρούση, τα αμαξίδια κινούνται μαζί, άρα η συνολική μάζα είναι

$$2.0 + 1.0 = 3.0\ \mathrm{kg}$$

Έστω ότι η τελική ταχύτητα είναι $v_f$. Τότε

$$p_{\text{final}} = (3.0)v_f$$

Θέτουμε ίσες την αρχική και την τελική ορμή:

$$6.0 = 3.0v_f$$ $$v_f = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

Άρα τα ενωμένα αμαξίδια κινούνται με $2.0\ \mathrm{m/s}$ προς τα δεξιά.

Το βασικό σημείο είναι ότι η συνολική ορμή του συστήματος των δύο αμαξιδίων παραμένει ίδια, παρόλο που η ορμή κάθε αμαξιδίου ξεχωριστά αλλάζει κατά την κρούση.

Συνηθισμένα λάθη

Αντιμετώπιση της ορμής ως βαθμωτού μεγέθους

Τα πρόσημα ή οι διανυσματικές συνιστώσες έχουν σημασία. Αριστερά και δεξιά δεν μπορούν να θεωρηθούν και τα δύο θετικά, εκτός αν πρώτα ορίσεις σύστημα συντεταγμένων και το τηρείς με συνέπεια.

Χρήση της διατήρησης χωρίς έλεγχο του συστήματος

Η διατήρηση της ορμής αφορά ένα επιλεγμένο σύστημα. Αν σε αυτό το σύστημα ασκείται ισχυρή εξωτερική ώση στο χρονικό διάστημα που εξετάζεις, η συνολική ορμή του δεν είναι υποχρεωτικό να παραμένει σταθερή.

Σύγχυση της διατήρησης της ορμής με τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας

Σε μια πλήρως πλαστική κρούση όπως στο παράδειγμα με τα αμαξίδια, η ορμή μπορεί να διατηρείται ενώ η κινητική ενέργεια όχι. Πρόκειται για διαφορετικές έννοιες.

Να ξεχνάς τη συνθήκη πίσω από το $p = mv$

Αυτός ο τύπος είναι η κλασική έκφραση της γραμμικής ορμής. Είναι η σωστή προεπιλογή για τα καθημερινά προβλήματα, αλλά όχι για σχετικιστικές ταχύτητες.

Πού εμφανίζεται η ορμή

Η ορμή εμφανίζεται σε κρούσεις, εκρήξεις, ανάκρουση, κίνηση πυραύλων, ασφάλεια στις συγκρούσεις και μηχανική του αθλητισμού. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν την ιδέα της ώσης όταν μελετούν αερόσακους και ζώνες παραμόρφωσης, επειδή η αύξηση του χρόνου ακινητοποίησης μπορεί να μειώσει τη μέση δύναμη που απαιτείται για να προκληθεί η ίδια μεταβολή ορμής.

Αν θέλεις να κατανοήσεις γρήγορες αλληλεπιδράσεις, η ορμή είναι συχνά το πιο καθαρό σημείο εκκίνησης, επειδή οι δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας κρούσης μπορεί να είναι πολύπλοκες ακόμη κι όταν η συνολική εικόνα της ορμής παραμένει απλή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Άλλαξε τις μάζες των αμαξιδίων ή την αρχική ταχύτητα και πρόβλεψε την τελική κατεύθυνση πριν υπολογίσεις. Μια καλή επόμενη περίπτωση είναι το δεύτερο αμαξίδιο να κινείται προς τα αριστερά αντί να ξεκινά από την ηρεμία.

Αν θέλεις να δοκιμάσεις τα δικά σου νούμερα βήμα προς βήμα, λύσε ένα παρόμοιο πρόβλημα ορμής με το GPAI Solver.