Πώς να σχεδιάζετε γραμμικές εξισώσεις

Για να σχεδιάσετε μια γραμμική εξίσωση, χρειάζεστε σημεία που την ικανοποιούν. Η πιο γρήγορη μέθοδος είναι συνήθως να ξαναγράψετε την εξίσωση ως $y = mx + b$, να σχεδιάσετε την τομή με τον άξονα y $(0, b)$ και έπειτα να χρησιμοποιήσετε την κλίση $m$ για να βρείτε ένα ακόμη σημείο.

Αν η εξίσωση δεν ξαναγράφεται εύκολα, μπορείτε πάλι να τη σχεδιάσετε επιλέγοντας δύο τιμές του $x$, βρίσκοντας τις αντίστοιχες τιμές του $y$ και τοποθετώντας αυτά τα σημεία. Σε κάθε περίπτωση, η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης είναι ευθεία γραμμή, αρκεί η σχέση να είναι πράγματι γραμμική.

Ο πιο γρήγορος τρόπος να σχεδιάσετε τις περισσότερες γραμμικές εξισώσεις

Αν μπορείτε να ξαναγράψετε την εξίσωση ως

$$y = mx + b$$

τότε μπορείτε αμέσως να διαβάσετε δύο χρήσιμες πληροφορίες:

• Το $b$ είναι η τομή με τον άξονα y, άρα η ευθεία περνά από το $(0, b)$.
• Το $m$ είναι η κλίση, που δείχνει πώς μετακινείται η ευθεία από το ένα σημείο στο επόμενο.

Για παράδειγμα, αν $m = 2$, μπορείτε να το διαβάσετε ως $\frac{2}{1}$: πηγαίνετε 1 δεξιά και 2 πάνω. Αν $m = -\frac{3}{2}$, πηγαίνετε 2 δεξιά και 3 κάτω.

Αυτή η μέθοδος λειτουργεί για κάθε μη κατακόρυφη ευθεία. Μια κατακόρυφη ευθεία έχει τη μορφή $x = c$, οπότε η γραφική της παράσταση είναι μια κατακόρυφη γραμμή που τέμνει τον άξονα x στο $(c, 0)$.

Λυμένο παράδειγμα: Σχεδιάστε την $2x + y = 5$

Ξεκινήστε ξαναγράφοντας την εξίσωση ώστε το $y$ να είναι μόνο του:

$$2x + y = 5$$ $$y = -2x + 5$$

Τώρα η τομή με τον άξονα y φαίνεται εύκολα: $b = 5$, άρα σχεδιάστε το $(0, 5)$.

Η κλίση είναι $m = -2$, που μπορείτε να τη διαβάσετε ως $-\frac{2}{1}$. Από το $(0, 5)$, κινηθείτε 1 δεξιά και 2 κάτω. Έτσι προκύπτει το επόμενο σημείο:

$$(1, 3)$$

Κάντε την ίδια μετακίνηση άλλη μία φορά και θα πάρετε ένα ακόμη σημείο:

$$(2, 1)$$

Τώρα σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή που περνά από αυτά τα σημεία.

Ένας γρήγορος έλεγχος βοηθά. Αντικαταστήστε $x = 1$ στην αρχική εξίσωση:

$$2(1) + y = 5$$

οπότε

$$y = 3$$

Αυτό ταιριάζει με το σημείο $(1, 3)$, άρα η γραφική παράσταση είναι συνεπής με την εξίσωση.

Τι γίνεται αν η εξίσωση δεν είναι στη μορφή $y = mx + b$;

Μπορείτε πάντα να σχεδιάσετε μια γραμμική εξίσωση βρίσκοντας δύο σημεία.

Πάρτε την $x + y = 4$. Αν $x = 0$, τότε $y = 4$, άρα ένα σημείο είναι το $(0, 4)$. Αν $x = 4$, τότε $y = 0$, άρα ένα άλλο σημείο είναι το $(4, 0)$. Σχεδιάστε αυτά τα δύο σημεία και τραβήξτε την ευθεία.

Αυτή η μέθοδος με τα δύο σημεία είναι πιο αργή από το να διαβάζετε απευθείας την κλίση και την τομή, αλλά είναι αξιόπιστη. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή, όπως $Ax + By = C$.

Συνηθισμένα λάθη όταν σχεδιάζετε γραμμικές εξισώσεις

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να τοποθετείτε την τομή με τον άξονα y σε λάθος θέση. Η τομή με τον άξονα y είναι εκεί όπου $x = 0$, άρα πρέπει να βρίσκεται πάνω στον άξονα y.

Ένα άλλο λάθος είναι να διαβάζετε την κλίση ανάποδα. Κλίση $-\frac{2}{3}$ σημαίνει 3 δεξιά και 2 κάτω, όχι 2 δεξιά και 3 κάτω.

Ένα τρίτο λάθος είναι να σχεδιάζετε την ευθεία αφού έχετε τοποθετήσει μόνο ένα σημείο. Ένα σημείο δεν αρκεί για να καθορίσει μια ευθεία. Χρειάζεστε τουλάχιστον δύο διαφορετικά σημεία.

Είναι επίσης εύκολο να γίνει αλγεβρικό λάθος όταν ξαναγράφετε την εξίσωση. Αν αλλάξετε μορφή, ελέγξτε ένα από τα σημεία που σχεδιάσατε στην αρχική εξίσωση, όχι μόνο στη νέα μορφή.

Πού χρησιμοποιείται αυτή η δεξιότητα

Η σχεδίαση γραμμικών εξισώσεων είναι βασικό εργαλείο στην άλγεβρα, στην αναλυτική γεωμετρία και σε κάθε θέμα που περιλαμβάνει σταθερό ρυθμό μεταβολής. Εμφανίζεται σε προβλήματα ρυθμού, σε προϋπολογισμούς, σε τύπους της φυσικής με σταθερή μεταβολή και σε δεδομένα που μοντελοποιούνται με ευθεία γραμμή σε ένα περιορισμένο διάστημα.

Η βασική ιδέα είναι πρακτική: μόλις μπορείτε να μεταβαίνετε από μια εξίσωση στη γραφική της παράσταση και αντίστροφα, βλέπετε τη σχέση αντί να τη χειρίζεστε μόνο ως σύμβολα.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Δοκιμάστε να σχεδιάσετε μόνοι σας την $y = \frac{1}{2}x - 3$. Σχεδιάστε πρώτα την τομή, χρησιμοποιήστε την κλίση για να βρείτε ένα δεύτερο σημείο και έπειτα ελέγξτε ένα σημείο στην εξίσωση.

Αν θέλετε να πάτε ένα βήμα παραπέρα, δοκιμάστε μια δική σας άσκηση από το σχολείο σε έναν math solver αφού πρώτα την έχετε σχεδιάσει πρόχειρα στο χέρι. Η σύγκριση της γραφικής σας παράστασης με τη λυμένη ευθεία είναι καλός τρόπος να εντοπίσετε λάθη στα πρόσημα και στην κλίση.