分数の引き算 — 例でわかる手順

分数の引き算は、まず分母をそろえてから分子を引きます。分母がすでに同じなら、そのまま分子を引いて分母は変えません。

このルールが成り立つのは、分数は同じ大きさの部分で表されているときにしか直接まとめられないからです。よくある間違いの多くは、この手順を飛ばしてしまうことから起こります。

分母が同じ分数の引き算

2つの分数の分母が同じなら、

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$

ただし、$b \ne 0$ です。どちらの分数も大きさ $\frac{1}{b}$ の部分でできているので、その部分がいくつ残るかを引いていることになります。

たとえば、

$$\frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{5}{11}.$$

分母は何も変わりません。単位が変わっていないので、11分の1をもとに考えているままだからです。

分母が異なるとき：先に通分する

分母が異なる、たとえば

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d},$$

のような場合は、まだ分子を引いてはいけません。これらの分数は、異なる大きさの部分で表されています。

$\frac{3}{4}$ と $\frac{1}{2}$ を見ると、その理由がわかります。4分の1と2分の1は同じ単位ではないので、$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ を分子だけで引くのは正しくありません。

まず $\frac{1}{2}$ を $\frac{2}{4}$ に書き換えます。すると、どちらも4分の1を単位にした分数になります。

$$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}.$$

値は変わっていません。引き算できる形にするために、表し方だけを変えたのです。

例題：$\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

次を計算します。

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4}.$$

手順1：共通の分母を見つける

分母は $6$ と $4$ なので、まず共通の分母を見つけます。最小公倍数を使うと、最小公分母は $12$ です。

手順2：両方の分数を書き換える

$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

手順3：分子を引く

$$\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

手順4：必要なら約分する

$7$ と $12$ には $1$ より大きい共通の約数がないので、答えは

$$\frac{7}{12}.$$

となります。

これが、分母が異なる分数の引き算の基本的な流れです。通分して、引いて、最後に約分します。

分数の引き算でよくある間違い

1. 分母まで引いてしまうこと。一般に、$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \ne \frac{a-c}{b-d}$ です。
2. 共通の分母を決めたあとで、片方の分数を書き換え間違えること。
3. 最後の分数に共通因数が残っているのに、約分を忘れること。
4. 後ろの分数のほうが大きいときに、マイナスの符号を落としてしまうこと。たとえば、$\frac{1}{3} - \frac{3}{4}$ は負の数になるはずです。

分数の引き算はどこで使う？

分数の引き算は、長さなどの測定、料理、時間の差、確率、代数などで出てきます。ある全体の一部から、別の一部を取り除く場面では、分数の引き算が現れます。

また、分数式や方程式の計算のような後の学習にもつながります。そうした場面では、共通の分母をそろえることが特に大切です。

似た問題に挑戦してみよう

次をやってみましょう。

$$\frac{7}{8} - \frac{1}{3}.$$

何かを引く前に、まず共通の分母を見つけてください。正しく準備できていれば、最後に引く前にどちらの分数も24分のいくつかに書き換えられるはずです。