Θηκογράμματα — Τεταρτημόρια, IQR και πώς να τα σχεδιάζετε

Ένα θηκόγραμμα, που λέγεται και διάγραμμα κουτιού και απολήξεων, δείχνει πού βρίσκεται το κέντρο ενός συνόλου δεδομένων και πόσο απλωμένο είναι. Τονίζει τη διάμεσο, το μεσαίο $50\%$ των δεδομένων και τις τιμές κοντά στα άκρα, ώστε να μπορείτε να καταλάβετε γρήγορα τη συνολική μορφή.

Τα βασικά σημεία είναι το πρώτο τεταρτημόριο $Q_1$, η διάμεσος, το τρίτο τεταρτημόριο $Q_3$ και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος $IQR = Q_3 - Q_1$. Μια συνθήκη έχει σημασία από την αρχή: τα τεταρτημόρια δεν ορίζονται με έναν καθολικό κανόνα. Αν η τάξη σας, το βιβλίο σας ή το λογισμικό σας χρησιμοποιεί μια συγκεκριμένη μέθοδο για τα τεταρτημόρια, κρατήστε την ίδια μέθοδο από την αρχή ως το τέλος.

Τι δείχνει με μια ματιά ένα θηκόγραμμα

Το κουτί εκτείνεται από το $Q_1$ έως το $Q_3$, άρα περιέχει το μεσαίο $50\%$ των δεδομένων. Η γραμμή μέσα στο κουτί είναι η διάμεσος.

Οι απολήξεις δείχνουν πόσο εκτείνονται τα δεδομένα πέρα από το κουτί. Σε ορισμένα θηκογράμματα φτάνουν μέχρι το ελάχιστο και το μέγιστο. Σε άλλα, σταματούν στις πιο ακραίες τιμές που δεν θεωρούνται ακραίες παρατηρήσεις. Χρειάζεστε αυτόν τον κανόνα πριν αποφασίσετε τι σημαίνουν οι απολήξεις.

Πώς λειτουργούν τα τεταρτημόρια και το IQR

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος μετρά τη διασπορά του μεσαίου μισού των δεδομένων:

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Μεγαλύτερο $IQR$ σημαίνει ότι το μεσαίο μισό είναι πιο απλωμένο. Μικρότερο $IQR$ σημαίνει ότι οι τιμές είναι πιο συγκεντρωμένες.

Πώς να σχεδιάσετε ένα θηκόγραμμα βήμα προς βήμα

Χρησιμοποιήστε κάθε φορά την ίδια σειρά:

1. Ταξινομήστε τα δεδομένα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο.
2. Βρείτε τη διάμεσο.
3. Βρείτε τα $Q_1$ και $Q_3$ με τη σύμβαση τεταρτημορίων που πρέπει να χρησιμοποιήσετε.
4. Σχεδιάστε μια αριθμητική ευθεία και σημειώστε τα $Q_1$, τη διάμεσο και το $Q_3$.
5. Σχεδιάστε το κουτί από το $Q_1$ έως το $Q_3$ και τη γραμμή της διαμέσου μέσα σε αυτό.
6. Προσθέστε τις απολήξεις σύμφωνα με τον κανόνα που απαιτεί η τάξη σας ή το λογισμικό σας.

Λυμένο παράδειγμα: Εύρεση τεταρτημορίων για θηκόγραμμα

Ξεκινήστε με το ταξινομημένο σύνολο δεδομένων

$$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18$$

Υπάρχουν $9$ τιμές, άρα η διάμεσος είναι η πέμπτη τιμή:

$$\text{median} = 8$$

Για αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήστε τον συνηθισμένο σχολικό κανόνα που εξαιρεί τη συνολική διάμεσο όταν βρίσκουμε το κάτω και το πάνω μισό.

Το κάτω μισό είναι

$$2,\ 4,\ 5,\ 7$$

άρα

$$Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$$

Το πάνω μισό είναι

$$9,\ 12,\ 15,\ 18$$

άρα

$$Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$$

Τώρα βρείτε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος:

$$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$$

Αυτό δίνει τους βασικούς δείκτες για το κουτί:

$$Q_1 = 4.5,\quad \text{median} = 8,\quad Q_3 = 13.5$$

Αν οι απολήξεις φτάνουν μέχρι το ελάχιστο και το μέγιστο, εκτείνονται έως το $2$ και το $18$. Άρα το κουτί εκτείνεται από το $4.5$ έως το $13.5$, η γραμμή της διαμέσου βρίσκεται στο $8$ και όλο το διάγραμμα εκτείνεται από το $2$ έως το $18$.

Πώς να διαβάζετε γρήγορα ένα θηκόγραμμα

Ξεκινήστε από τη διάμεσο για να εντοπίσετε το κέντρο των δεδομένων.

Έπειτα ελέγξτε το πλάτος του κουτιού. Ένα στενό κουτί σημαίνει ότι το μεσαίο μισό είναι συγκεντρωμένο. Ένα φαρδύ κουτί σημαίνει ότι είναι πιο απλωμένο.

Τέλος, συγκρίνετε τις απολήξεις και τη θέση της διαμέσου μέσα στο κουτί. Αν η μία πλευρά είναι αισθητά μεγαλύτερη, η κατανομή μπορεί να είναι πιο απλωμένη προς εκείνη την πλευρά.

Συνηθισμένα λάθη στα θηκογράμματα

Μην παραλείπετε το βήμα της ταξινόμησης. Αν τα δεδομένα δεν είναι σε σειρά, η διάμεσος και τα τεταρτημόρια θα είναι λανθασμένα.

Μην υποθέτετε ότι κάθε θηκόγραμμα χρησιμοποιεί τον ίδιο κανόνα για τα τεταρτημόρια ή τις απολήξεις. Δύο σωστά διαγράμματα μπορεί να φαίνονται διαφορετικά αν έχουν κατασκευαστεί με διαφορετικές συμβάσεις.

Μην διαβάζετε τα άκρα του κουτιού ως το ελάχιστο και το μέγιστο. Συνήθως δείχνουν το $Q_1$ και το $Q_3$.

Μην υποθέτετε ότι ένα πιο φαρδύ κουτί σημαίνει «περισσότερα δεδομένα» σε εκείνη την περιοχή. Σημαίνει ότι οι τιμές εκεί καλύπτουν μεγαλύτερο διάστημα πάνω στην αριθμητική ευθεία.

Πότε είναι χρήσιμα τα θηκογράμματα

Τα θηκογράμματα είναι χρήσιμα όταν θέλετε μια γρήγορη εικόνα του κέντρου και της διασποράς χωρίς να παραθέτετε κάθε τιμή. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για τη σύγκριση δύο ή περισσότερων ομάδων δίπλα δίπλα.

Είναι συνηθισμένα στα μαθήματα στατιστικής, στις εργαστηριακές αναφορές και σε κάθε περίπτωση όπου η διάμεσος και το μεσαίο μισό των δεδομένων έχουν μεγαλύτερη σημασία από μια λεπτομερή λίστα όλων των τιμών.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Πάρτε ένα μικρό ταξινομημένο σύνολο δεδομένων, βρείτε τη σύνοψη πέντε αριθμών και σχεδιάστε το θηκόγραμμα με το χέρι. Έπειτα συγκρίνετέ το με ένα εργαλείο γραφημάτων για να ελέγξετε αν ο κανόνας των τεταρτημορίων και ο κανόνας των απολήξεων ταιριάζουν με το αποτέλεσμα.