Algebraische Gleichungen — Arten und Lösungen

Eine algebraische Gleichung besagt, dass zwei algebraische Ausdrücke gleich sind. Sie zu lösen bedeutet, den Wert oder die Werte zu finden, für die die Gleichheit wahr ist.

Der erste sinnvolle Schritt ist, die Art der Gleichung zu erkennen. Eine lineare Gleichung, eine quadratische Gleichung und eine gebrochenrationale Gleichung löst man nicht auf dieselbe Weise, daher zeigt dir die Struktur, was du als Nächstes versuchen solltest.

Was eine algebraische Gleichung ist

Ein einfaches Beispiel ist

$$2x + 3 = 11.$$

Wenn $x = 4$ ist, sind beide Seiten gleich, also ist $x = 4$ eine Lösung.

Allgemeiner bestehen algebraische Gleichungen aus Variablen, Zahlen und Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen. Welche Lösungen erlaubt sind, hängt vom Zahlbereich ab. Zum Beispiel haben manche Gleichungen keine reelle Lösung, aber komplexe Lösungen.

Hauptarten algebraischer Gleichungen

Lineare Gleichungen

Bei einer linearen Gleichung kommt die Variable nur in der ersten Potenz vor:

$$3x - 5 = 10.$$

Diese löst man meist, indem man die Variable isoliert.

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen enthalten einen quadrierten Term:

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

Über den reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung zwei Lösungen, eine doppelte Lösung oder keine reelle Lösung haben.

Gebrochenrationale Gleichungen

Bei gebrochenrationalen Gleichungen steht eine Variable im Nenner:

$$\frac{x + 1}{x - 2} = 3.$$

Hier ist besondere Vorsicht nötig, weil manche Werte nicht erlaubt sind. In diesem Fall muss $x = 2$ schon vor dem Rechnen ausgeschlossen werden.

Wurzelgleichungen

Bei Wurzelgleichungen steht eine Variable unter einer Wurzel:

$$\sqrt{x + 5} = x - 1.$$

Hier muss man oft beide Seiten quadrieren, wodurch Lösungen entstehen können, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.

Wie man die Lösungsmethode auswählt

Nutze die Struktur als Orientierung:

• Wenn die Gleichung linear ist, isoliere die Variable.
• Wenn sie quadratisch ist, ist Faktorisieren oft am schnellsten, wenn es sich sauber anwenden lässt. Wenn nicht, sind quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel möglicherweise besser.
• Wenn sie gebrochenrational ist, bestimme zuerst die ausgeschlossenen Werte und beseitige dann die Nenner sorgfältig.
• Wenn sie eine Wurzelgleichung ist, isoliere zuerst die Wurzel und quadriere erst dann. Prüfe anschließend jedes Ergebnis in der ursprünglichen Gleichung.

Die Grundidee ist einfach: Wähle die Methode, die zur Form der Gleichung passt.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine quadratische Gleichung lösen

Löse

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

Das ist eine quadratische Gleichung, also prüfst du zuerst, ob sie sich sauber faktorisieren lässt. Du brauchst zwei Zahlen, deren Produkt $6$ ist und deren Summe $-5$ ergibt. Diese Zahlen sind $-2$ und $-3$, also gilt

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

Nun verwendest du den Satz vom Nullprodukt:

$$(x - 2)(x - 3) = 0.$$

Mindestens ein Faktor muss null sein:

$$x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 3 = 0.$$

Damit sind die möglichen Lösungen

$$x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 3.$$

Prüfe beide in der ursprünglichen Gleichung:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 0$$

und

$$3^2 - 5(3) + 6 = 0.$$

Beide Prüfungen stimmen, also sind beide Werte gültige Lösungen.

Häufige Fehler beim Lösen algebraischer Gleichungen

Ein häufiger Fehler ist, eine Methode zu wählen, die nicht zur Struktur passt. Wenn eine Gleichung quadratisch ist, führt es meist zu nichts, sie wie eine lineare Gleichung zu behandeln.

Ein weiterer Fehler ist, Einschränkungen zu ignorieren. Bei einer gebrochenrationalen Gleichung muss jeder Wert verworfen werden, der einen Nenner null macht, auch wenn die Rechnung ihn scheinbar liefert.

Ein dritter Fehler tritt bei Wurzelgleichungen auf. Das Quadrieren beider Seiten kann eine Scheinlösung erzeugen, deshalb ist die abschließende Probe in der ursprünglichen Gleichung notwendig.

Wo algebraische Gleichungen verwendet werden

Algebraische Gleichungen tauchen überall dort auf, wo eine Beziehung mit Symbolen ausgedrückt wird und ein unbekannter Wert gesucht ist. Dazu gehören Schulalgebra, Formeln in der Geometrie, Finanzaufgaben sowie viele Modelle in Physik und Ingenieurwissenschaften.

Die wichtige Gewohnheit ist in jedem Fall dieselbe: Lies zuerst die Struktur, dann löse.

Probiere eine ähnliche Gleichung

Versuche deine eigene Variante mit $x^2 - 7x + 10 = 0$. Ordne sie zuerst ein, wähle dann eine passende Methode und prüfe anschließend jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung. Wenn du noch einen anderen Fall möchtest, vergleiche diesen Ablauf mit einer einfachen linearen Gleichung und achte darauf, wie die Art der Gleichung die Strategie verändert.