Quadratische Gleichungen lösen

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, bringst du sie in die Normalform und findest den oder die Werte von $x$, für die die Gleichung wahr ist. Die Normalform lautet

$$ax^2 + bx + c = 0$$

mit $a \ne 0$. Die meisten Aufgaben für Schülerinnen und Schüler lassen sich auf drei Methoden zurückführen: Faktorisieren, quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel. Die wichtigste Fähigkeit ist, für die vorliegende Gleichung die einfachste Methode auszuwählen.

Was es bedeutet, eine quadratische Gleichung zu lösen

Du suchst die Nullstellen oder Lösungen der Gleichung. Im Graphen sind das die $x$-Werte, an denen die Parabel die $x$-Achse schneidet.

Eine quadratische Gleichung kann zwei reelle Lösungen, eine doppelte reelle Lösung oder keine reellen Lösungen haben. Wenn du mit komplexen Zahlen arbeitest, hat jede quadratische Gleichung trotzdem zwei Lösungen, Vielfachheiten mitgezählt.

Wie du eine Methode auswählst

Bevor du mit der Algebra beginnst, bringe alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite $0$ steht. So ist die Struktur leichter zu erkennen, und du kannst besser entscheiden, welche Methode passt.

• Wenn sich der Ausdruck sauber faktorisieren lässt, ist Faktorisieren meist am schnellsten.
• Wenn die Gleichung nahe an einem Muster eines vollständigen Quadrats liegt, kann die quadratische Ergänzung effizient sein.
• Wenn keiner der beiden Ansätze bequem ist, funktioniert die Mitternachtsformel bei jeder quadratischen Gleichung.

Eine weitere Abkürzung hilft: die Diskriminante,

$$b^2 - 4ac$$

Sie zeigt dir, welche Art von reellen Lösungen zu erwarten ist.

• Wenn $b^2 - 4ac > 0$, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
• Wenn $b^2 - 4ac = 0$, gibt es eine doppelte reelle Lösung.
• Wenn $b^2 - 4ac < 0$, gibt es keine reellen Lösungen.

Das löst die Gleichung noch nicht von selbst, aber es zeigt dir schon vor dem Rechnen, welche Art von Ergebnis sinnvoll sein sollte.

Die drei wichtigsten Methoden

Faktorisieren

Faktorisieren funktioniert, wenn sich die quadratische Gleichung als Produkt schreiben lässt, zum Beispiel

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Dann verwendest du den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt $0$ ist, muss mindestens ein Faktor $0$ sein. Also sind die Lösungen $x = 2$ und $x = 3$.

Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung wird die quadratische Gleichung in eine Form umgeschrieben wie

$$(x - h)^2 = k$$

Das ist besonders nützlich, wenn Faktorisieren umständlich ist und du die Gleichung als quadrierten Ausdruck sehen möchtest.

Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel ist immer anwendbar, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Sie ist die zuverlässigste allgemeine Methode, aber nicht immer die schnellste, wenn sich die quadratische Gleichung sofort faktorisieren lässt.

Durchgerechnetes Beispiel: Löse $x^2 - 5x + 6 = 0$

Diese Gleichung liegt bereits in Normalform vor, also prüfst du zuerst, ob sie sich faktorisieren lässt. Du brauchst zwei Zahlen, deren Produkt $6$ ist und deren Summe $-5$ ergibt. Diese Zahlen sind $-2$ und $-3$, also

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

Nun löse

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Setze jetzt jeden Faktor gleich null:

$$x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 3 = 0$$

Also sind die Lösungen

$$x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 3$$

Prüfe beide Antworten in der ursprünglichen Gleichung:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

Beide Prüfungen stimmen, also sind die Lösungen korrekt.

Häufige Fehler

Ein häufiger Fehler ist, eine Methode auszuwählen, bevor alle Terme auf eine Seite gebracht wurden. Zum Beispiel wird das Lösen von $x^2 = 5x - 6$ viel einfacher, wenn du es zuerst zu $x^2 - 5x + 6 = 0$ umschreibst.

Ein weiterer Fehler ist, eine Lösung zu verlieren. Quadratische Gleichungen können zwei reelle Lösungen haben, also achte nach dem Faktorisieren oder nach der Verwendung von $\pm$ in der Mitternachtsformel darauf, beide Zweige mitzunehmen, wenn es sie gibt.

Ein dritter Fehler ist, in der Mitternachtsformel die falschen Vorzeichen für $a$, $b$ oder $c$ zu verwenden. Das passiert meist dann, wenn die Gleichung nicht zuerst in Normalform geschrieben wurde.

Wo du das brauchst

Quadratische Gleichungen kommen in der Algebra, beim Zeichnen von Graphen, in der Optimierung und in Bewegungsaufgaben vor. Wenn eine Beziehung eine quadrierte Variable enthält, ist das Lösen einer quadratischen Gleichung oft der Schritt, der den sinnvollen Wert von $x$ liefert.

Die Methode hängt von der Gleichung ab. Eine sauber faktorisierbare quadratische Gleichung belohnt Mustererkennung. Eine unübersichtlichere Gleichung lässt sich oft besser mit der Mitternachtsformel behandeln.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, $x^2 - 7x + 12 = 0$ zu lösen, und wähle die Methode, bevor du rechnest. Ein sinnvoller nächster Schritt ist, dieselbe Gleichung durch Faktorisieren und mit der Mitternachtsformel zu lösen und dann zu vergleichen, welche Methode direkter wirkt.