Zusammenfassung der Folgenformeln

Folgenformeln sind Ausdrücke, mit denen man schnell das $n$-te Glied einer regelmäßigen Folge sowie die Summe der ersten $n$ Glieder berechnen kann. In Prüfungen geht es meistens um arithmetische und geometrische Folgen. Der erste Schritt ist daher immer die Frage: "Ist die Differenz konstant?" oder "Ist der Quotient konstant?".

Hier sind die vier wichtigsten Kernformeln für den schnellen Einsatz:

Folgenformeln auf einen Blick

Bei einer arithmetischen Folge mit der Differenz $d$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

Bei einer geometrischen Folge mit dem Quotienten $r$:

$a_n = a_1 r^{n-1}$

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \quad \text{if } r \ne 1$

Und wenn $r = 1$ gilt, sind alle Glieder $a_1$, also:

$S_n = na_1$

Hierbei ist $a_n$ das $n$-te Glied und $S_n$ die Summe vom ersten bis zum $n$-ten Glied. Prüfe genau, was in der Aufgabe gesucht ist, damit du die Formeln nicht verwechselst.

So unterscheidest du arithmetische von geometrischen Folgen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern konstant ist. Zum Beispiel wächst $3, 7, 11, 15, \dots$ jedes Mal um $4$, daher ist die Differenz $d=4$.

Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der das Verhältnis (der Quotient) zwischen zwei benachbarten Gliedern konstant ist. Zum Beispiel wird $2, 6, 18, 54, \dots$ jedes Mal mit $3$ multipliziert, daher ist der Quotient $r=3$.

Diese Unterscheidung ist der wichtigste erste Schritt. Wenn du die Formel für eine geometrische Folge verwendest, obwohl die Differenz konstant ist (oder umgekehrt), wird die gesamte weitere Rechnung falsch.

Intuition: Warum sehen die Formeln so aus?

Das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge $a_n = a_1 + (n-1)d$ ergibt sich, indem man die Differenz $n-1$-mal zum ersten Glied addiert. Man kann es sich so vorstellen, dass bei jedem Schritt nach rechts derselbe Wert hinzugefügt wird.

Das allgemeine Glied einer geometrischen Folge $a_n = a_1r^{n-1}$ ergibt sich, indem man das erste Glied $n-1$-mal mit dem Quotienten multipliziert. Hier wächst oder schrumpft die Folge bei jedem Schritt um denselben Faktor.

Zusammenfassend: Arithmetische Folgen ändern sich in gleichmäßigen Schritten, während sich bei geometrischen Folgen die Änderungen kumulieren. Allerdings werden die Glieder einer geometrischen Folge immer kleiner, wenn der Quotient $0 < r < 1$ ist.

Beispiel: Allgemeines Glied und Summe berechnen

Betrachten wir die Folge $5, 8, 11, 14, \dots$.

Da die Differenz immer $3$ ist, handelt es sich um eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied $a_1=5$ und der Differenz $d=3$.

Das 10. Glied berechnen

Unter Verwendung der Formel für das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Daraus folgt:

$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

Das 10. Glied ist also $32$.

Die Summe der ersten 10 Glieder berechnen

Setzen wir $n=10$, $a_1=5$ und $a_{10}=32$ in die Summenformel

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

ein:

$S_{10} = \frac{10}{2}(5+32) = 5 \cdot 37 = 185$

Der entscheidende Punkt in diesem Beispiel ist die Unterscheidung der Symbole. $a_{10}$ bezeichnet ein einzelnes Glied, während $S_{10}$ der Gesamtwert der ersten 10 Glieder ist. Lies die Aufgabe genau: Wird das "10. Glied" oder die "Summe der ersten 10 Glieder" gesucht?

Häufige Fehler bei Folgenformeln

Verwechslung von allgemeinem Glied und Summe

Oft wird die Formel für $S_n$ verwendet, obwohl $a_n$ gesucht ist, oder umgekehrt wird nur das allgemeine Glied berechnet, obwohl die Summe gefragt war. Prüfe immer zuerst: "Welches Glied?" oder "Summe von wie vielen Gliedern?".

Geometrische Folgen als arithmetische missverstehen

Zum Beispiel ist $2, 4, 8, 16, \dots$ keine arithmetische Folge, da die Differenz nicht konstant ist. In solchen Fällen muss man das Verhältnis (den Quotienten) prüfen.

Bedingungen der geometrischen Summenformel vergessen

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

kann nur verwendet werden, wenn $r \ne 1$ gilt. Wenn $r=1$ ist, wird der Nenner zu $0$, was eine separate Behandlung erfordert.

$n-1$ vergessen

In der Formel für das allgemeine Glied muss $a_n$ so definiert sein, dass der Zustand ohne Bewegung vom ersten Glied $n=1$ entspricht. Deshalb taucht in beiden Folgentypen $n-1$ auf.

Wann verwendet man diese Formeln?

Folgenformeln werden nicht nur in Schulprüfungen, sondern überall dort eingesetzt, wo es konstante Zuwächse oder Wachstumsraten gibt. Monatliche Ersparnisse, die gleichmäßig steigen, lassen sich als arithmetische Folgen modellieren; Phänomene, die proportional wachsen oder sinken, entsprechen geometrischen Folgen.

Man muss jedoch prüfen, ob die reale Situation exakt einer arithmetischen oder geometrischen Regel folgt. Die Formeln lassen sich nur anwenden, wenn die Regelmäßigkeit präzise gegeben ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Lösung

Folgenprobleme lassen sich meist in dieser Reihenfolge lösen:

1. Prüfe, ob die Differenz oder der Quotient konstant ist.
2. Kläre, ob der gesuchte Wert $a_n$ oder $S_n$ ist.
3. Bestimme $d$ bei arithmetischen Folgen oder $r$ bei geometrischen Folgen.
4. Setze die Werte in die passende Formel ein.

Empfohlene Übungen

Versuche, für die Beispielfolge $5, 8, 11, 14, \dots$ selbst $a_{20}$ und $S_{20}$ zu berechnen. Wende dieselben Fragen anschließend auf die geometrische Folge $3, 6, 12, 24, \dots$ an. So wird dir der Unterschied zwischen der Formel für das allgemeine Glied und der Summenformel noch klarer.