扭转——轴中的剪应力

扭转公式用于求承受扭矩的圆轴内部的剪应力。对于处于线弹性扭转状态的圆轴，半径 $r$ 处的应力为

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

其中，$T$ 是外加扭矩，$J$ 是极惯性矩。在这些条件下，中心处的剪应力为零，外表面的剪应力最大。

对于最大剪应力，令 $r = R$：

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

当圆轴扭转模型适用时，这个结果可用于实心圆轴和空心圆轴。

扭转公式何时适用

当构件可以建模为处于弹性扭转状态的圆轴时，可使用 $\tau = Tr/J$。如果截面不是圆形，这种应力分布通常就不成立。

这一条件很重要。这个公式并不是对所有受扭零件都通用的规则。

$T$、$r$、$R$ 和 $J$ 分别表示什么

• $T$：外加扭矩
• $r$：从轴心到所研究点的距离
• $R$：轴的外半径
• $J$：截面的极惯性矩

对于常见的圆轴：

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{实心圆轴}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{空心圆轴}$$

为什么离中心越远应力越大

轴在扭转时，并不是各处都承受相同的剪切作用。离中心越远的材料，在轴扭转时需要经过更大的圆周路径，因此剪切效应会随半径增大而增强。

这就是为什么公式与 $r$ 成正比。中心线处 $r = 0$，所以那里的剪应力为零。外表面具有最大的 $r$，因此承受最大的剪应力。

例题：实心轴中的最大剪应力

设一根实心圆轴的半径为 $R = 0.020\ \mathrm{m}$，承受扭矩 $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$。求最大剪应力。

先计算极惯性矩：

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

再使用最大应力形式：

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

因此，最大剪应力为

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

这个例子清楚地展示了主要规律。对于同类型的轴，扭矩越大，应力越大；而极惯性矩 $J$ 越大，应力越小。

扭转公式中的常见错误

把公式用于错误的截面

$\tau = Tr/J$ 是圆轴在线弹性扭转下的标准结果。如果截面不是圆形，或者材料超出了假定的弹性范围，这个公式就可能无法正确描述真实应力。

混淆 $J$ 和 $I$

$J$ 是极惯性矩，不是普通梁弯曲中使用的截面惯性矩 $I$。把两者混用会得到错误答案。

忘记应力与半径有关

应力在轴截面上并不是均匀分布的。它会随 $r$ 变化，因此中心处的值与表面处的值并不相同。

忽略单位一致性

如果扭矩用 $\mathrm{N \cdot m}$，半径用 $\mathrm{m}$，而 $J$ 用 $\mathrm{m^4}$，那么应力的结果就是 $\mathrm{Pa}$。把毫米和米混用是常见错误来源。

扭转公式用在哪里

当工程师和物理学生需要估算旋转轴、传动轴、钻杆、联轴器以及其他传递扭矩的类似零件中的剪应力时，就会用到扭转公式。

在实际中，它帮助回答一个简单的设计问题：轴的几何尺寸是否足够大，能够传递该扭矩而不超过允许的剪应力？

试试类似的问题

保持同一根轴不变，但把扭矩加倍。由于 $\tau$ 与 $T$ 成正比，最大剪应力也会加倍。

如果你想尝试改变半径或改为空心轴的版本，可以在 GPAI Solver 中解一道类似的扭转题。