扭转公式用于求承受扭矩的圆轴内部的剪应力。对于处于线弹性扭转状态的圆轴，半径 rr 处的应力为

τ=TrJ\tau = \frac{Tr}{J}

其中，TT 是外加扭矩，JJ 是极惯性矩。在这些条件下，中心处的剪应力为零，外表面的剪应力最大。

对于最大剪应力，令 r=Rr = R：

τmax⁡=TRJ\tau_{\max} = \frac{TR}{J}

当圆轴扭转模型适用时，这个结果可用于实心圆轴和空心圆轴。

扭转公式何时适用

当构件可以建模为处于弹性扭转状态的圆轴时，可使用 τ=Tr/J\tau = Tr/J。如果截面不是圆形，这种应力分布通常就不成立。

这一条件很重要。这个公式并不是对所有受扭零件都通用的规则。

TT、rr、RR 和 JJ 分别表示什么

  • TT：外加扭矩
  • rr：从轴心到所研究点的距离
  • RR：轴的外半径
  • JJ：截面的极惯性矩

对于常见的圆轴：

J=πR42实心圆轴J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{实心圆轴} J=π(Ro4−Ri4)2空心圆轴J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{空心圆轴}

为什么离中心越远应力越大

轴在扭转时，并不是各处都承受相同的剪切作用。离中心越远的材料，在轴扭转时需要经过更大的圆周路径，因此剪切效应会随半径增大而增强。

这就是为什么公式与 rr 成正比。中心线处 r=0r = 0，所以那里的剪应力为零。外表面具有最大的 rr，因此承受最大的剪应力。

例题：实心轴中的最大剪应力

设一根实心圆轴的半径为 R=0.020 mR = 0.020\ \mathrm{m}，承受扭矩 T=120 N⋅mT = 120\ \mathrm{N \cdot m}。求最大剪应力。

先计算极惯性矩：

J=πR42=π(0.020)42≈2.51×10−7 m4J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}

再使用最大应力形式：

τmax⁡=TRJ\tau_{\max} = \frac{TR}{J} τmax⁡=(120)(0.020)2.51×10−7≈9.55×106 Pa\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}

因此，最大剪应力为

τmax⁡≈9.6 MPa\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}

这个例子清楚地展示了主要规律。对于同类型的轴，扭矩越大，应力越大；而极惯性矩 JJ 越大，应力越小。

扭转公式中的常见错误

把公式用于错误的截面

τ=Tr/J\tau = Tr/J 是圆轴在线弹性扭转下的标准结果。如果截面不是圆形，或者材料超出了假定的弹性范围，这个公式就可能无法正确描述真实应力。

混淆 JJ 和 II

JJ 是极惯性矩，不是普通梁弯曲中使用的截面惯性矩 II。把两者混用会得到错误答案。

忘记应力与半径有关

应力在轴截面上并不是均匀分布的。它会随 rr 变化，因此中心处的值与表面处的值并不相同。

忽略单位一致性

如果扭矩用 N⋅m\mathrm{N \cdot m}，半径用 m\mathrm{m}，而 JJ 用 m4\mathrm{m^4}，那么应力的结果就是 Pa\mathrm{Pa}。把毫米和米混用是常见错误来源。

扭转公式用在哪里

当工程师和物理学生需要估算旋转轴、传动轴、钻杆、联轴器以及其他传递扭矩的类似零件中的剪应力时，就会用到扭转公式。

在实际中，它帮助回答一个简单的设计问题：轴的几何尺寸是否足够大，能够传递该扭矩而不超过允许的剪应力？

试试类似的问题

保持同一根轴不变，但把扭矩加倍。由于 τ\tau 与 TT 成正比，最大剪应力也会加倍。

如果你想尝试改变半径或改为空心轴的版本，可以在 GPAI Solver 中解一道类似的扭转题。

常见问题

轴的扭转公式是什么？
对于处于线弹性扭转状态的圆轴，半径 $r$ 处的剪应力为 $\tau = Tr/J$。其中 $T$ 是外加扭矩，$J$ 是极惯性矩，且外表面的应力最大。
$\tau = Tr/J$ 适用于任何截面形状吗？
不适用。这个形式是在通常弹性扭转假设下针对圆轴得到的标准结果。非圆截面通常需要不同的分析，因为其应力分布并不相同。

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