비틀림 — 축의 전단응력

비틀림 공식은 토크를 전달하는 원형 축 내부의 전단응력을 알려줍니다. 원형 축이 선형 탄성 비틀림 상태에 있을 때, 반지름 $r$에서의 응력은 다음과 같습니다.

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

여기서 $T$는 작용 토크이고 $J$는 단면 2차 극모멘트입니다. 이러한 조건에서는 중심에서 전단응력이 0이고, 바깥 표면에서 가장 큽니다.

최대 전단응력은 $r = R$로 두면 됩니다.

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

이 결과는 원형 축 비틀림 모델이 잘 맞는 경우, 실원형 축과 중공 원형 축 모두에 사용됩니다.

비틀림 공식이 적용되는 경우

부재를 탄성 비틀림 상태의 원형 축으로 모델링할 수 있을 때 $\tau = Tr/J$를 사용합니다. 단면이 원형이 아니면, 일반적으로 이런 응력 분포는 성립하지 않습니다.

이 조건은 중요합니다. 이 공식은 모든 비틀린 부품에 무조건 적용되는 보편 법칙이 아닙니다.

$T$, $r$, $R$, $J$의 의미

• $T$: 작용 토크
• $r$: 축 중심에서 관심 지점까지의 거리
• $R$: 축의 바깥 반지름
• $J$: 단면의 단면 2차 극모멘트

대표적인 원형 축의 경우:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{실원형 축의 경우}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{중공 원형 축의 경우}$$

중심에서 멀수록 응력이 커지는 이유

비틀림을 받는 축에서는 모든 위치의 전단이 같지 않습니다. 중심에서 더 먼 재료일수록 축이 비틀릴 때 더 큰 원형 경로를 따라 움직여야 하므로, 전단 효과가 반지름과 함께 커집니다.

그래서 공식이 $r$에 비례합니다. 중심선에서는 $r = 0$이므로 전단응력이 0입니다. 바깥 표면은 $r$이 가장 크므로 가장 큰 전단응력을 받습니다.

예제: 실축의 최대 전단응력

반지름이 $R = 0.020\ \mathrm{m}$인 실원형 축이 토크 $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$를 전달한다고 합시다. 최대 전단응력을 구해 봅시다.

먼저 단면 2차 극모멘트를 계산합니다.

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

이제 최대 응력 공식을 사용합니다.

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

따라서 최대 전단응력은 다음과 같습니다.

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

이 예제는 핵심 경향을 분명하게 보여줍니다. 같은 종류의 축이라면 토크가 커질수록 응력은 증가하고, 단면 2차 극모멘트 $J$가 클수록 응력은 감소합니다.

비틀림 공식에서 자주 하는 실수

잘못된 단면에 공식 적용하기

$\tau = Tr/J$는 원형 축에 대한 표준 탄성 비틀림 결과입니다. 단면이 원형이 아니거나 재료가 가정한 탄성 범위를 벗어나면, 이 공식은 실제 응력을 올바르게 나타내지 못할 수 있습니다.

$J$와 $I$를 혼동하기

$J$는 극단면 2차 모멘트이며, 일반적인 보의 굽힘에 쓰는 단면 2차 모멘트 $I$와 다릅니다. 둘을 바꾸어 쓰면 잘못된 답이 나옵니다.

응력이 반지름에 따라 달라진다는 점을 잊기

응력은 축 전체에 균일하지 않습니다. $r$에 따라 변하므로 중심에서의 값과 표면에서의 값은 같지 않습니다.

단위 일관성 놓치기

토크가 $\mathrm{N \cdot m}$, 반지름이 $\mathrm{m}$, $J$가 $\mathrm{m^4}$이면 응력은 $\mathrm{Pa}$로 나옵니다. 밀리미터와 미터를 섞어 쓰는 것은 흔한 오류 원인입니다.

비틀림 공식을 어디에 쓰는가

비틀림 공식은 공학자와 물리학 학습자가 회전축, 구동축, 드릴 축, 모터 커플링처럼 토크를 전달하는 부품의 전단응력을 추정할 때 사용합니다.

실무에서는 간단한 설계 질문에 답하는 데 도움이 됩니다. 즉, 허용 가능한 전단응력을 넘지 않고 토크를 전달하기에 축의 형상이 충분히 큰가를 판단하는 것입니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

같은 축에서 토크만 두 배로 늘려 보세요. $\tau$는 $T$에 비례하므로 최대 전단응력도 두 배가 됩니다.

반지름을 바꾸거나 중공 축으로 직접 해보고 싶다면, GPAI Solver에서 비슷한 비틀림 문제를 풀어보세요.