Burulma — Millerde Kayma Gerilmesi

Burulma formülü, tork taşıyan dairesel bir milin içindeki kayma gerilmesini verir. Doğrusal elastik burulma altındaki dairesel bir mil için, $r$ yarıçapındaki gerilme

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

şeklindedir.

Burada $T$ uygulanan tork, $J$ ise kutupsal alan atalet momentidir. Bu koşullar altında kayma gerilmesi merkezde sıfırdır ve dış yüzeyde en büyük değerine ulaşır.

Maksimum kayma gerilmesi için $r = R$ alınır:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Bu sonuç, dairesel mil burulma modeli uygun olduğunda dolu ve içi boş dairesel miller için kullanılır.

Burulma Formülü Ne Zaman Geçerlidir?

$\tau = Tr/J$ ifadesini, eleman elastik burulma altındaki dairesel bir mil olarak modellenebildiğinde kullanın. Kesit dairesel değilse, bu gerilme dağılımı genel olarak geçerli olmaz.

Bu koşul önemlidir. Formül, burulan her parça için geçerli evrensel bir kural değildir.

$T$, $r$, $R$ ve $J$ Ne Anlama Gelir?

• $T$: uygulanan tork
• $r$: mil merkezinden incelenen noktaya olan uzaklık
• $R$: milin dış yarıçapı
• $J$: kesitin kutupsal alan atalet momenti

Yaygın dairesel miller için:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{dolu dairesel mil için}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{içi boş dairesel mil için}$$

Gerilme Neden Merkezden Uzaklaştıkça Artar?

Burulma altındaki bir mil her noktada aynı şekilde kaymaz. Merkezden daha uzaktaki malzeme, mil burulurken daha büyük bir dairesel yol boyunca hareket etmek zorundadır; bu yüzden kayma etkisi yarıçapla birlikte artar.

Bu nedenle formül $r$ ile orantılıdır. Merkez ekseninde $r = 0$ olduğundan oradaki kayma gerilmesi sıfırdır. Dış yüzeyde $r$ en büyük olduğundan, en büyük kayma gerilmesi de orada oluşur.

Çözümlü Örnek: Dolu Bir Milde Maksimum Kayma Gerilmesi

Dolu dairesel bir milin yarıçapının $R = 0.020\ \mathrm{m}$ olduğunu ve $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$ tork taşıdığını varsayalım. Maksimum kayma gerilmesini bulun.

Önce kutupsal alan atalet momentini hesaplayın:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Şimdi maksimum gerilme formunu kullanın:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Buna göre maksimum kayma gerilmesi

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

olur.

Bu örnek temel eğilimi açıkça gösterir. Aynı mil tipi için, daha büyük tork gerilmeyi artırır; daha büyük bir kutupsal moment $J$ ise gerilmeyi azaltır.

Burulma Formülünde Yaygın Hatalar

Formülü Yanlış Kesit İçin Kullanmak

$\tau = Tr/J$, dairesel miller için standart elastik burulma sonucudur. Kesit dairesel değilse ya da malzeme varsayılan elastik aralığın dışındaysa, bu formül gerçek gerilmeyi doğru vermeyebilir.

$J$ ile $I$'yi Karıştırmak

$J$, kutupsal alan atalet momentidir; normal kiriş eğilmesinde kullanılan alan atalet momenti $I$ değildir. Bunları karıştırmak yanlış sonuca götürür.

Gerilmenin Yarıçapa Bağlı Olduğunu Unutmak

Gerilme mil kesiti boyunca sabit değildir. $r$ ile değişir; bu yüzden merkezdeki değer ile yüzeydeki değer aynı değildir.

Birim Tutarlılığını Kaybetmek

Tork $\mathrm{N \cdot m}$, yarıçap $\mathrm{m}$ ve $J$ değeri $\mathrm{m^4}$ cinsindense, gerilme $\mathrm{Pa}$ cinsinden çıkar. Milimetre ile metreyi karıştırmak yaygın bir hata kaynağıdır.

Burulma Formülü Nerede Kullanılır?

Burulma formülü; mühendislerin ve fizik öğrencilerinin dönen millerde, tahrik akslarında, sondaj millerinde, motor kaplinlerinde ve tork ileten benzer parçalarda kayma gerilmesini tahmin etmesi gerektiğinde kullanılır.

Pratikte şu basit tasarım sorusuna yardımcı olur: mil geometrisi, kabul edilebilir kayma gerilmesini aşmadan bu torku taşımak için yeterince büyük mü?

Benzer Bir Soru Deneyin

Aynı mili koruyup torku iki katına çıkarın. $\tau$, $T$ ile orantılı olduğundan maksimum kayma gerilmesi de iki katına çıkar.

Farklı bir yarıçap veya içi boş mil ile kendi sürümünüzü denemek isterseniz, GPAI Solver'da benzer bir burulma problemini çözün.